Les nombres entiers

Résumé du document

Nombres entiers naturels

Nombres entiers relatif

Binôme de newton

La récurrence

Extraits

[...] Il existe p tel que On conclue que p n'appartient pas . Or supposons que p=p.j Mais cela est faux car D'où une contradiction. Théorème : Soit , alors N admet une unique décomposition en facteurs premiers à l'ordre des facteurs près. Démonstration : (esquisse) On suppose que N admet 2 décompositions différentes. On considère l'ensemble n admet au moins 2 décompositions en facteurs premiers} Soit le plus petit élément de X. On suppose , ( contredit la construction de On considère ; . D'où Contradiction. [...]

[...] (On démontre que si est vraie alors est vraie.) Exemple : Montrer que pour tout , n droites dans le plan le sépare en au plus parties . Solution : par récurrence, on a ; L'affirmation est vraie pour n=1 ON suppose l'affirmation vraie pour (on veut la démontrer pour n+1). On considère n+1 droites dans le plan. : n droites, :1droite). D'après la supposition les n droites séparent le plan en au plus parties. La droite sépare le plan en au plus 2 parties. Don cle nombre de parties obtenues est . Exemple : Pour tout , on a ; Solution : Par récurrence. [...]

[...] Nombres Entiers 1. L'ensemble des nombres naturels : (entiers positifs) Si n se trouve dans l'ensemble alors n+1 est successeur de n. Opérations sur les nombres naturels : Somme + Commutativité : pour tout a et b dans ; a+b=b+a Associativité : pour tout b et c dans ; Il existe un élément neutre : Il existe 0 tel que pou tout ; 0+a=a Multiplication La multiplication satisfait les trois propriétés précédentes avec 1 à la place de 0 comme élément neutre, plus : La distributivité : Pour tout c Division Euclidienne : (proposition) Pour tout a et b , il existe un q et un r dans tel que q b+r et Remarque : est un ensemble infini. [...]

[...] avec la somme satisfait les propriétés suivantes : Commutativité L'associativité Existence de l'élément neutre Existence de l'opposé ou de l'inverse : pour tout n dans il existe tel que C'est un groupe commutatif. Définition : Soient a et b , on dit que a divise b si le reste de la division euclidienne de b par a est nul. (Il existe q tel que b=a.q). Définition : On dit que p est premier si p est divisible par et seulement. Théorème (Euclide) : L'ensemble des nombres premiers est infini. [...]