Exercices corrigés sur les nombres complexes

Résumé du document

Quatre exercices corrigés de Mathématiques permettant de manipuler les propriétés des nombres complexes, à savoir la forme algébrique, la forme trigonométrique, les propriétés des modules et de l'argument. On aborde également à travers ces exercices les complexes du point de vue de la géométrie. Enfin, un exercice classique dans lequel on détermine un ensemble de points à partir d'une propriété algébrique.

Extraits

[...] ˆ M1 étant le milieu du segment la droite (OM1 ) est la bissectrice de l'angle AOB ˆ Donc AOM π 6 Ainsi : arg(zM1 ) = π 6 En effectuant le même raisonnement et en utilisant la relation de Chasles, on obtient : arg(zM2 ) = 5π 6 arg(zM3 ) = 3π 2 Par construction, il est clair que OM1 = OM2 = OM3 De plus, (OM1 ; OM2 ) = arg(zM2 ) arg(zM1 ) par la relation de Chasles On trouve : (OM1 ; OM2 ) = (OM2 ; OM3 ) = (OM3 ; OM1 ) = Donc le triangle M1 M2 M3 est équilatéral 2π 3 Exercice 2 Calculer Z = + i 3)5 + i 3)5 On écrit z sous la forme : z = reiθ = r(cos θ + i sin avec r le module de z et θ l'argument de z . Appliquons ceci q à 1 + i 3 et à 1 i 3. [...]

[...] Or ceci est vrai pour y = 0 ou x = Alors, Re(Z)=0 C'est-à-dire : 2x2 2y 2 + x + 1 = 0 Soit : y = 2x2 + x + 1 Ainsi, les points M tels que Z = z 2 + z + 1 soit un imaginaire pur sont situés sur la courbe d'équation : y = 2x2 + x + 1 A présent, on a Z = z + On sait, d'après le cours, que Z est un réel si et seulement si Z = Z = D'après le cours, on a : Z z + On développe les expressions de Z et Z équivaut à z = c'est-à-dire z R On remarque que Z = Z Donc, l'ensemble des points M tels que Z = z + soit un réel se trouvent sur l'axe des abscisses, c'est-à-dire sur la droite d'équation : y = 0 A présent, on cherche le cas où Z est un imaginaire pur. [...]

[...] D'après l'énoncé, on a : e3iθ = e−iθ Ce qui équivaut à, pour tout k N : π 3θ = + 2kπ 4θ = 2kπ θ = k 2 Soit p N Si k = 4p : z = 1 Si k = 4p + 1 : z = i Si k = 4p + 2 : z = Si k = 4p + 3 : z = Exercice 4 Quels sont les points M tels que Z = 2z 2 + z + 1 : est réel ? est imaginaire pur ? [...]

[...] Idem avec Z = z + Soit z un nombre complexe. Comme tout nombre complexe, z peut s'écrire sous la forme z = x + iy , x et y appartenant à R Donc : = 2z 2 + z + 1 = 2(x + iy)2 + + iy) + 1 = 2(x2 y 2 + 2ixy) + x + iy + 1 = (2x2 2y 2 + x + + i(4xy + = (2x2 2y 2 + x + + iy(4x + Supposons que z soit tel que Z soit un réel. [...]

[...] Complexes Exercice Donner un argument de l'affixe de chacun de ses sommets On pose M M M les milieux respectifs des segments et [EF]. Donner un argument de l'affixe de M M M Quelle est la nature du triangle M1 M2 M3 ? ABCDEF est un hexagone régulier centré en O. [...]