Cours de Maths sur les nombres complexes

Résumé du document

Cours de Mathématiques (niveau Terminale) sur les nombres complexes : Comment utiliser les nombres complexes dans un plan ? Comment les utiliser dans une équation ? Quelles sont leur propriétés ? Et comment permettent-ils de définir certaines transformations géométriques ?

Extraits

[...] Représentations géométriques : A tout nombre complexe z = a+ib on associe le point M de coordonnées dans un repère ; u où u et v sont les vecteur du repère. Pour z = 2-3i on obtient donc un point M ayant une abscisse de 2 et une ordonnée de M : On dit que M est le point image de z ou que z est l'affixe du point M. 1.Propriétés : Si M est l'affixe de z ; alors z est aussi l'affixe du vecteur OM et les affixes des points A et alors l'affixe du vecteur AB est L'affixe du vecteur OA + OB est + k étant un réel, le vecteur kOA a pour affixe kz(a). [...]

[...] Complexes conjugués : 1. Définition : On appelle conjugué du complexe a+ib le nombre complexe noté zbar tel que zbar = a-ib 2.Propriétés : °z*zbar est toujours positif. °z*z' = + °zbarbar = z °(z+z')bar = zbar + z'bar et (z-z')bar = zbar- z'bar °(z*z')bar = zbar * z'bar (z/z')bar = zbar/z'bar = 1/z IV. Equations du second degré à coefficients réels dans C : + bz + c = 0 a,b,c sont des réels différents de 0 Exemple : 0 alors = 0 donc - 0 = 0 ou = 0 d'où z = ou z = i Propriétés : Soit l'équation + bz = 0 -Si Delta supérieur ou égal à alors on utilise les mêmes formules que dans R -Si Delta strictement inférieur à 0 alors on admet 2 solutions complexes conjuguées : Z1= + i - Delta) /2a Z2 = i - Delta) / 2a Exemple: z + 1 = 0 Delta = - 4ac = = Donc z1 = + i 3 z2 = i 3 ) V. [...]

[...] Tout élément z de C s'écrit sous la forme a+ib avec a et b réels. 2.Vocabulaire : L'écriture z = a + ib est appelée forme algébrique de z a est appelé la partie réelle de noté Re(z) b est appelé partie imaginaire de z noté Im(z) tout nombre réel est aussi un nombre complexe si z = ib avec b réel, alors z est un imaginaire pur 3. Propriétés : z = z' signifie que = a') et = b') * Cas particulier : - z = 0 alors a = 0 et b = 0 - z réel alors b = 0 - z = Imaginaire pur alors Re(z) = Calculs dans C : z = 2-3i et z'= 4i z + z' = 2-3i + 1+4i = 3 + i z z' = 2-3i - = 7i z*z' = = 14+5i z'² = = = -15+8i = = -5-12 1/z = = Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. [...]

[...] Soit un point de coordonnées carthésiennes et de coordonnées polaires ( r ; alors : A=r*cos( et B=r*sin( Avec r = et cos( = a/r sin( = b/r 1.Définitions : Module et argument d'un nombre complexe : A tout nombre complexe z = a+ib on associe le point M de coordonnées polaires ( r ; appelle module de le réel strictement positif noté tel que ; = r = OM appelle argument de le réel strictement positif noté Arg(z), tel que : Arg(z) = ( = à 2k( près 2. Formes trigonométriques : z = a + ib avec a = rcos( et b = rsin( donc z = rcos( + irsin( z = cos( + isin() VI. Propriétés des modules et des arguments : -Egalité de 2 complexes : z=z' si r=r', ( = (' à 2k( près. [...]