Cours de mathématiques sur les nombres complexes

Résumé du document

Cours de mathématiques (niveau Terminale) sur les nombres complexes : tableaux récapitulatifs, interprétations graphiques et exemples pour chacune des parties présentées.

Extraits

[...] Définition : A tout vecteur Å de coordonnées u b on convient d'associer le nombre complexe Interprétation graphique : unique noté z Å qui s'écrit z Å=a+ ib. u u Réciproquement, à tout nombre complexe ib, on convient d'associer dans le plan le vecteur Å de coordonnées u b On dit que z Å=a+ ib est l'affixe du vecteur Åde coordonnées u u Remarque : z Å= z Å ñ Å= Å u v u v b a z Å=zÄ=zM u OM Opposé d'un nombre complexe. [...]

[...] Interprétation graphique : L'ensemble de tous les nombres complexes est noté C. I L'écriture ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z. a est la partie réelle de z et on note a=Re( b est la partie imaginaire de z et on note b=Im( On dit que le point M de coordonnées ( a pour affixe le nombre complexe zM ib. On dit que le point M est l'image de zM . Cas particuliers : Si Im( alors cad z=a. [...]

[...] Le point I milieu de [ AB] est tel que Ä= OI 1 Ä Ä ( OA + OB ) donc a pour affixe zI = zA+ zB OA OB OC (α Ä+ β Ä+ γ Ä) donc a pour affixe α+ β+ γ G barycentre de ( C,γ) est tel que Ä OG= zG = αzA + βzB + γzC α+ β+ γ Méthode pour démontrer que trois points B et C d'affixes respectives zA , zB , zC sont alignés : On considère les vecteurs Ä et Ä d'affixe zC zA et zB zA et en calculant AC AB On peut en déduire ainsi que zC zA = k ( zB zA ) donc que Ä= k Ä AC AB Ainsi les vecteurs Ä et Ä sont colinéaires et donc les points B et C sont alignés. AC AB zC zA , on montre que k☻IR. zB zA Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites. III. [...]

[...] Ainsi Å a pour coordonnées u donc Å a pour coordonnées - a et pour affixe u a le complexe u a−ib. On retiendra u z Å Å Å u II. Somme: Règles de calculs dans C I Interprétation graphique : Soit Å et Ådeux vecteurs d'affixes respectifs z Å et z Å u v u v Alors Å et Å ont pour coordonnées respectives u v Donc le vecteur Å+ Å a pour coordonnées u v a b et Remarque : donc pour affixe z Å+ Å=a+ Ainsi z Å+ z Å=z u + Å u v u v Å v Soit M et N deux points d'affixes respectives zM et zN Alors et donc Ä b MN a Donc Ä a pour affixe zÄ=( ib). [...]

[...] Equations du second degré dans C à coefficients réels I Soit l'équation az bz+ c=0 d'inconnue complexe z et où b et c sont des nombres réels avec a non nul. Le discriminant de cette équation est le réel = b 2−4ac. Si alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : z1= Si alors l'équation admet une solution réelle double : z0=b . 2a - 2a et z2= - i 2a - 2a et z2= - 2a . [...]