Certaines équations algébriques (comme x² + 1 = 0) n'ont pas de solution sur R. On va plonger R dans un ensemble structuré dans lequel l'équation précédente possède une solution (...)
[...] Il existe un corps commutatif et un morphisme de corps injectif ϕ de R dans E tels que : E possède un élément i vérifiant i2 = tout élément de E s'écrit de manière unique sous la forme ϕ(a) + ϕ(b) i avec a et b réels. Un tel ensemble E vérifiant les propriétés précédentes est unique à isomorphisme de corps près. On note cet ensemble C. On constate alors que C possède une structure de R-espace vectoriel avec la loi externe définie par : R C λ z = ϕ(λ) z. est une R-algèbre commutative. [...]
[...] On calcule = b2 4ac. Si = α + iβ avec α, β réels, on cherche δ = u + iv v réels) tel que δ2 = u2 v2 = α 2uv = β u et v vérifient le système (on a rajouté l'égalité des modules). 2 u + v2 = α2 + β On obtient u2 = (α + α2 + β2 ) et v2 = ( α2 + β2 α) d'où 2 solutions opposées (et pas à cause du δ + δ signe de uv égal au signe de β. [...]
[...] Un est un sous-groupe cyclique de isomorphe à Les éléments de Un forment géométriquement les sommets d'un polygone régulier à n côtés. n 1 ωn k La somme des éléments de Un est nulle si n 2 : ω = ωn = = ωn ω∈Un k=0 U2 = et U4 = } en posant j = exp 2iπ = . On a j3 = j2 = j = et 1 + j + j2 = 0. U3 = j j Equations algébriques : Théorème de D'Alembert : tout polynôme de de degré supérieur ou égal à 1 possède au moins une racine dans C. [...]
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