Les nombres complexes - publié le 09/07/2009

Résumé du document

Les nombres complexes, tels que nous les utilisons aujourd'hui, datent du XIXème siècle. Ils étaient cependant connus et utilisés depuis plusieurs siècles sous le nom de nombres imaginaires (terme qui est resté dans l'expression "partie imaginaire"). Ils sont apparus lorsque l'on a essayé de résoudre les équations du 3ème degré.

Le premier à avoir résolu des équations du 3ème degré du type x3+px=q (p>0, q<0) semble être Scipione Del Ferro (1465?1526), professeur à l'université de Bologne. Il ne publia pas sa découverte mais la transmit à son élève Antonio Maria Fior.

En 1531, Tartaglia (1500?1557), soit à la lumière d'une indiscrétion, soit par sa propre invention, apprit également à résoudre les équations du 3ème degré. Croyant à une imposture, Fior lança un défi public à Tartaglia. A la fin du temps imparti, Tartaglia avait résolu toutes les équations de Fior, alors que celui-ci n'avait résolu qu'une seule équation de Tartaglia (...)

Extraits

[...] Il n'y a plus aucune justification à une telle discrimination, maintenant que la métaphysique des nombres imaginaires a été pleinement éclairée, et qu'il a été montré qu'ils avaient une signification aussi réelle que les nombres négatifs. C'est à partir de cette époque que Gauss emploie le terme "complexe" en lieu et place du terme "imaginaire". C'est également au cours du XIXème siècle que les nombres complexes commencent à être largement utilisés en physique. Définition L'ensemble des complexes ℂ est en bijection avec ℝ². Ses éléments sont notés 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, pour 𝑎 et 𝑏 réels. [...]

[...] Il suffit pour cela de chercher le point 𝜔 invariant par la transformation : 𝑏 1−𝑎 𝜔 = 𝑎𝜔 + 𝑏 𝜔 = Et de constater que 𝑍 𝜔 = 𝑎𝑧 + 𝑏 𝑏 1−𝑎 = 𝑎𝑧 𝑎𝑏 1−𝑎 = 𝑎(𝑧 𝜔). Il s'agit d'une similitude de centre 𝜔 de rapport 𝑎 , d'angle arg(𝑎). 𝑧 𝑧 est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe réel 𝑧 Considérons maintenant 𝑧 . On obtient l'image d'un complexe en prenant l'opposée de l'argument, puis en prenant l'inverse du module. [...]

[...] On peut également vérifier que la dérivée de 𝑡 𝑒 𝑎𝑡 avec 𝑎 complexe est 𝑎𝑒 𝑎𝑡 . En effet, si 𝑎 = 𝑥 + 𝑖𝑦, alors : 𝑎𝑒 𝑎𝑡 = 𝑒 𝑡𝑥 cos 𝑡𝑦 + 𝑖 sin 𝑡𝑦 6 Les nombres complexes - PCSI Dont la dérivée par rapport à 𝑡 est : 𝑥𝑒 𝑡𝑥 cos 𝑡𝑦 + 𝑖 sin 𝑡𝑦 = 𝑎𝑒 𝑎𝑡 + 𝑒 𝑡𝑥 −ycos 𝑡𝑦 + 𝑖𝑦 sin 𝑡𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑒 𝑡𝑥 cos 𝑡𝑦 + 𝑖 sin 𝑡𝑦 Formule d'Euler Voici quelques formules : 𝑒 𝑖𝜋 = (formule d'Euler) 𝑒 2𝑖𝜋 = 1 𝑖𝜋 𝑒2 =𝑖 𝑖𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃 𝑖𝜃 1 + 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 2 𝑒 2 + 𝑒 2 = 2𝑒 2 cos 𝑖𝜃 1 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑒 2 𝑒 2 𝑒 2 = 2𝑖𝑒 2 sin 𝜃 2 𝜃 2 On notera que les deux dernières formules sont équivalentes à (𝑡 = tan 𝜃 2 𝜃 1 tan² 𝜃 𝜃 𝜃 2 = 1 𝑡² cos 𝜃 = 2 cos² 1 = cos² sin² = 𝜃 + 𝑡² 1 + tan² 2 𝜃 2 tan 𝜃 𝜃 2𝑡 2 sin 𝜃 = 2 sin cos = = 𝜃 + 𝑡² 1 + tan² 2 tan 𝜃 = 2 tan 𝜃 2 𝜃 1 tan² 2 = 2𝑡 1 𝑡² Ces trois formules sont faciles à mémoriser. [...]

[...] Exemple cos 4 𝜃 4 𝑒 4𝑖𝜃 + 4𝑒 2𝑖𝜃 + 6 + 4𝑒 −2𝑖𝜃 + 𝑒 −4𝑖𝜃 cos 4𝜃 + 4 cos 2𝜃 + 3 = + cos(2𝜃) 1 + 2 cos(2𝜃) + cos²(2𝜃) cos 4 𝜃 = cos² 𝜃 2 = + cos(4𝜃) 1 + 2 cos(2𝜃) + cos 4𝜃 + 4 cos 2𝜃 + = = = 𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃 2 = Réduction de 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝑎 et 𝑏 sont deux réels non tous deux nuls. On factorise par 𝑎² + 𝑏² 𝑎 𝑎² + 𝑏² cos 𝜃 + 𝑎² + 𝑏². On obtient : 𝑏 𝑎² + 𝑏² sin 𝜃 Les coefficients de cos 𝜃 et de sin 𝜃 ont la somme de leur carrés égal à 1. Il existe un réel Φ tel qu'il s valent respectivement par exemple cos Φ et Φ. [...]

[...] Il s'agit d'une involution (sa composée avec elle-même est égale à l'identité). On vérifie facilement que l'on a les règles de calcul suivantes : 𝑧 + 𝑧′ = 𝑧 + 𝑧′ 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 −𝑧 = −𝑧 = 𝑧 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑧+𝑧 2 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑧−𝑧 2𝑖 Module et inégalité triangulaire Le module de 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 est 𝑧 = 𝑎² + 𝑏². Il s'interprète géométriquement comme la norme euclidienne du vecteur d'affixe 𝑧 ou comme la distance du point d'affixe 𝑧 à l'origine. [...]