Nombre dérivé, fonction dérivée

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée sur le nombre dérivé et les fonctions dérivées : définitions, formules pour dériver une fonction et lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction.

Extraits

[...] Produit de deux fonctions Si f = u alors f est dérivable sur I et f = v + v u. Exemple. f = x2 x définie sur et dérivable sur . 1 x3 x 7x2 x 3 On a = x et = x donc f = 3x x + x = 3x x + = x Propriété. Inverse d'une fonction Si u ne s'annule pas sur I et f = u alors : f est dérivable sur I ; = u Propriété. [...]

[...] Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I. On dit que : f + f f est dérivable en a si et seulement si tend vers un réel l quand h tend vers h l est le nombre dérivé de f en a et on le note f Remarque. Lorsque f est dérivable en on peut noter : f + f h f = lim ou encore . f = lim Définition. Soit f une fonction définie et dérivable sur I. [...]

[...] Nombre dérivé, fonction dérivée I Page 1/4 Définitions Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et b dans I b). B b L'accroissement moyen de f entre a et b est le quotient : f f = . A b f f est le coefficient directeur de (AB). Remarque. Autre notation : si b = a + l'accroissement moyen entre a et b est : B f f + f . h b Que se passe-t-il si B se rapproche de A ? [...]

[...] Calculons pour a I et h petit : u(a + + v(a + u(a + v(a + f + f = = + . h h h h Or, lorsque h u(a + v(a + et v Par conséquent, on a : h h f = + v . Mathématiques Rédigé par C. Lagorce Cours S Nombre dérivé, fonction dérivée Page 3/4 f = λu(x) pour tout x I. Calculons : f + f u(a + λu(a + λu(a) = =λ . h h h On a donc lim f h = soit f = . [...]

[...] Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet un extremum local en x0 I si et seulement s'il existe un intervalle ouvert J tel que J I (strictement) et f admet un extremum sur J. maximum local x3 9x Cf : y = 5 Mathématiques Propriété. Soit f définie et dérivable sur I. Si f admet un extremum local en x0 alors f (x0 ) = 0. minimum local Remarque. La réciproque est fausse. [...]