Le mouvement brownien et le calcul stochastique

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Master sur le mouvement brownien et le calcul stochastique. Celui-ci comprend des démonstrations.

Extraits

[...] Quitte consid´erer les min(n, T ) et faire n il suffit de consid´erer le cas u T ne prend que des valeurs finies. La mesure P0x est la loi d'un processus solution de ( 5.5 .1) avec U = x sur un certain espace (Ω, et relativement un F-MB W . En reprenant les notations de l'´etape 1 de la preuve du th´eor`eme on a donc X = X 0 φ en dehors d'un ensemble P-n´egligeable N , u φ est une application de Ω dans Ω Il est facile de voir que si A0 Ft0 il existe A Ft avec A N c = (A0 ) N c (c'est ´evident quand A0 est de la forme A0 = {Xt01 B , Xtn Bn } pour des ti t et des Bi B(Rd et on passe au cas g´en´eral par un argument de classe monotone, plus la continuit´e droite des filtrations). [...]

[...] La premi`ere in´egalit´e est triviale. La seconde est (comme la premi`ere d'ailleurs) une in´egalit´e par Avec ω fix´e, on peut consid´erer les mesures associ´ees (au sens du paragraphe 3.1 ) aux fonctions hM, M hN, N hM + M + N i + hM M N i et hM, N mesures qu'on M2 2007-08: Mouvement brownien et calcul stochastique Chapitre notera respectivement µ, ν, η et ζ (les trois premi`eres sont positives, la derni`ere est sign´ee). Avec ces notations ( 3.2 .12) se ram`ene l'in´egalit´e sZ sZ Z ζ h(s)2 µ(ds) k(s)2 ν(ds) ( 3.2 .13) pour toutes fonctions h et k nulles en dehors de t]. [...]

[...] Il en d´ecoule imm´ediatement que Y + 1+δ θ θn t n n n 1 + Etape Il reste montrer Y 1 p.s. Soit θ 1[. Les ´ev´enements An = {Wθn Wθn+1 θ )ψ(θn sont ind´ependants. D'apr` ( 1.4 .3) le fait que n n n+1 (Wθn Wθn+1 θ θ est de loi N si an = θ )ψ(θ θn θn+1 on obtient: P(An ) = I(an ) . 2π 2π an + 1/an M2 2007-08: Mouvement brownien et calcul stochastique Chapitre θ . [...]

[...] Grˆace on peut trouver une suite Tn de F-temps d'arrˆet, d´ecroissant vers T , avec T X E 1A 1{Tn une surmartingale si E(Xt Fs ) Xs > une sousmartingale si E(Xt Fs ) Xs > s. Evidemment si X est une surmartingale, alors est une sousmartingale. [...]

[...] Soit U 0 et U 00 des martingales locales sur (Ω F F P0 ) et (Ω F F P00 avec des suites localisantes (Tn0 ) et (Tn00 Pour tous s t et A0 Fs A00 Fs On a 0Tn0 E(Ut 0Tn0 1A0 ×A00 ) = E0 (Ut 0Tn0 E(Ut 00Tn00 Ut 1A0 ) P00 (A00 ) = E0 (Us0Tn 1A0 ) P00 (A00 ) = E(Us0Tn 1A0 ×A00 0Tn0 1A0 ×A00 ) = E0 (Ut 0 = E 00Tn00 1A0 ) E00 (Ut 0 (Us0Tn 1A0 ) 00 E 1A00 ) 00Tn00 (Us 1A00 ) = = E(Us0Tn Us00Tn 1A0 ×A00 Donc U 0 et U 0 U 00 sont des martingales locales sur (Ω, et il en est ´evidemment de mˆeme de U Il s'ensuit que sur cet espace, W 00 est un MB, les M 0i et N 0ij des martingales locales, et hM 0i , W 00j i = 0. Rappelons maintenant quelques r´esultats d'alg`ebre lin´eaire. Rappelons que c = bb? et notons ζ le rang (inf´erieur d et de la matrice donc aussi de la matrice b. Soit c0 = b (une m m matrice sym´etrique nonnegative), qui s'´ecrit c0 = ΠΛΠ? avec Π orthogonale m m et Λ diagonale avec Λii > 0 si i ζ et Λii = 0 si i > ζ. [...]