Comment gagner au Monopoly ?

Résumé du document

Etude du jeu de Monoploy grâce à un modèle mathématique : les chaînes de Markov. Après un rappel de la théorie, modélisation du jeu de Monopoly.

Extraits

[...] Considérons l'ensemble X ; où d est un entier non nul. Soit Ω={ω= où N est un entier non nul et où est un élément de X pour tout i entre 1 et N Si on voit les éléments de X comme les états d'un système, on appellera l'état initial et l'état au temps i pour tout i entre 1 et N. Le temps est donc considéré comme discret et un élément ω Ω représente alors la succession des états du système depuis le temps initial jusqu'au temps N. [...]

[...] En effet, considérons un modèle simpliste du jeu de Monopoly, n'incluant ni les cartes Chance, ni les cartes Caisse de Communauté, ni la case Allez en prison mais différenciant la Simple visite ( 10 ) de l'emprisonnement noté ( 10 b et enfin tenant compte de la règle des trois doubles consécutifs (la seule façon d'arriver en ( 10 b Soit X la variable aléatoire donnant la position du joueur au temps n ℕ . Supposons que l'on ait une chaîne de Markov i.e une probabilité P gérant les trajectoires ( X Pour n 2 : = faire un double (indépendance des jets de dés ) . on fait un double et les deux lancers précédents étaient des doubles faire un double (indépendance des jets de dés ) =1/216. Or l'hypothèse de Markov voudrait que = Pour tout i,j k et l. [...]

[...] Ce bref aperçu des règles n'a pas pour ambition d'apprendre à jouer, mais il constitue le minimum de ce qui est indispensable à notre étude ultérieure Objectifs. Considérons le pion d'un joueur. On définit la trajectoire du pion par la succession des numéros des cases qu'il occupe au cours du jeu. Exemple : est une trajectoire où les numéros entre parenthèses désignent les intermédiaires de passage où l'on a tiré une carte de mouvement, ici vers 39 et après vers 0. [...]

[...] En cela, nous avons été inspirés par : SINAÏ Probability, an introductory course ( Springer Pour les lecteurs curieux et intéressés par le sujet, beaucoup d'autres ouvrages traitent du problème, on citera notamment pour les anglophobes le très complet : L. MAZLIAK, P.PRIOURET, P.BALDI Martingales et chaînes de Markov ( Hermann Notre objectif majeur sera de démontrer le théorème ergodique. En ce qui concerne l'application au Monopoly, divers articles ont déjà été publiés sur le sujet. Les principes généraux sont énoncés par : Ian Stewart dans Pour la science, numéros et 231 Trop monopoly pour être honnête , Réactions et Le monopoly revisité Mais le travail le plus abouti demeure celui de : S. FERENCZI, R. [...]

[...] Définition 2 Une distribution de probabilité μ sur R est dite discrète s'il existe une partie dénombrable D de R telle que μ(D)=1. Une distribution de probabilité discrète est donc donnée par une suite de nombres réels positifs tels que où . Donnons tout de suite des exemples : Exemple 1 : Considérons un dé équilibré à 6 faces. Notons la probabilité d'obtenir i lorsqu'on lance le dé. Evidemment 1/6 ) est une distribution de probabilité. Exemple 2 : On lance deux dés équilibrés. [...]