Modèle de régression linéaire simple

Thèmes abordés

Régression linéaire simple, corrélation, paramètres du modèle, sources de variabilité, intervalles de prévision

Résumé du document

Si r est proche de 1, il y a une forte corr'elation positive entre X et Y (même sens de variation).
Si r est proche de −1, il y a une forte corrélation négative entre X et Y (différence du sens de variation).
Lorsque r = 0, X et Y sont non corrélées : il n'y a pas d'association linéaire entre X et Y.
Si r±1 , alors l'une des variables est une fonction affine de l'autre, par exemple Y est une fonction affine de X i.e. Y = a+bX, avec b du signe de r.

Extraits

[...] Partie II : Mod`le de r´gression lin´aire simple e e e 1 / 22 I. Notion de corr´lation e D´finition e On dit qu'il y a corr´lation entre deux variables lorsqu'elles ont tendance ` e a varier soit toujours dans le mˆme sens (par exemple, si X augmente, Y e augmente aussi), soit toujours en sens inverse (par exemple, si X augmente, Y diminue). On dispose de n individus dont on calcule leurs valeurs pour deux variables quantitatives X et Y : y1 ) (xn , yn Le coefficient de corr´lation lin´aire entre X et Y est : e e avec x = 1 n 1 (xi x)(yi , n n (xi x)2 (yi n 1 xi et y = 1 yi . [...]

[...] [Graphes-Diagrammes de dispersion-Simple] 5 / 22 II. Pr´sentation du mod`le de R´gression lin´aire simple et e e e e estimation des param`tres e Mod`le e La r´gression lin´aire simple permet d'´tudier l'association entre deux e e e variables quantitatives X et Y. Historiquement, cette m´thode a commenc´ avec l'´tude de l'h´ridit´ e e e e e par Francis Galton (1821-1894) qui a ´tabli la relation entre la taille e des parents et celle de leurs enfants. Le mod`le de r´gression lin´aire simple s'´crit Y = a + bX + , e e e e u est une variable al´atoire appel´e erreur (ou r´sidus) satisfaisant e e e ] = 0 et Var( ) = σ Y s'appelle variable ` expliquer (d´pendante), X s'appelle variable a e explicative (ind´pendante). [...]

[...] e Lorsque r = X et Y sont non corr´l´es : il n'y a pas d'association ee lin´aire entre X et Y. e Si r alors l'une des variables est une fonction affine de l'autre, par exemple Y est une fonction affine de X i.e. Y = a + bX, avec b du signe de r. 4 / 22 I. Notion de corr´lation (suite) e Exemple : La g´rante d'une entreprise veut ´valuer l'impact des frais e e d´bours´s en publicit´ par mois (repr´sent´s par une variable X exprim´e e e e e e e en milliers d'euros) sur le chiffre d'affaires mensuel (repr´sent´ par une e e variable Y exprim´e en milliers d'euros). [...]

[...] e Donner l'intervalle de confiance de la moyenne E(Y ) ` la valeur a X = Donner l'intervalle de pr´vision de Y pour la valeur X = e Quel serait le chiffre d'affaires mensuel pr´dit par le mod`le pour un e e budget publicitaire mensuel de 400 euros ? [...]

[...] SCT Ce coefficient est une mesure de la variabilit´ expliqu´e par le mod`le de e e e r´gression lin´aire. Il v´rifie toujours 0 R2 1. Plus R2 est proche de e e e plus le mod`le choisi semble pertinent. e Lien entre R2 et le coefficient de corr´lation r entre X et Y e Il est simple de v´rifier que r = R Le coefficient de corr´lation est e e ˆ la racine carr´e du coefficient de d´termination. lorsque b1 > 0 et e e ˆ lorsque b1 [...]