Méthodes numériques - Éléments finis

Thèmes abordés

Mathématiques, maillage, MEP Méthode des Elements Finis, électromagnétique, potentiel, matrice, matrice élémentaire, matrice globale, Matlab, équation de Laplace, maillage automatique, noeuds, dimension trois

Résumé du document

La méthode des éléments finis (MEF) tire son origine dans l'analyse des structures. Bien que la première résolution mathématique de cette méthode fût fournie par R. COURANT en 1943, la méthode n'était pas appliquée aux problèmes électromagnétiques jusqu'à 1968. La MEF est utilisée dans divers domaines tels que les problèmes de guide d'ondes, des machines électriques, des appareils à semi-conducteur, des lignes microruban, et l'absorption des radiations électromagnétiques par le corps humain.

Extraits

[...] 11) ² • Les expressions dérivées du principe variationnel pour un problème à deux dimensions vu précédemment restent valables sauf que les matrices fondamentales et requièrent une triple intégration. Pour l' équation de Helmholtz, par exemple, on était arrivé à: ff  k 2T ff ] f 0 Mais ici, • ij C  i  j  i  j  i  j  i . j dv (   )dv x x y y z z v v Tij( e )  i j dv v   i j d1d 2 d3 v (Eq. [...]

[...] Utiliser la MEF pour déterminer le potentiel à l'intérieur d'un élément du maillage. y Figure Nœud(x,y) 1(0.8,1.8) 2(1.4,1.4) 3(2.1,2.1) V=10 4(1.2,2.7) • Le programme Matlab permettant d'avoir la matrice des coefficients de l'élément 1 est le suivant: ² ² ² Exercice1 • Ecrire un programme Matlab pour résoudre l'équation de Laplace en utilisant la MEF. Appliquer le programme au problème à deux dimensions illustré ci-dessous : y 1.0 100v 1.0 Figure 6 x Solution • ² Si nous divisons la région solution en 25 triangles élémentaires, nous obtenons la configuration cidessous: y Figure x • • • • • • La région solution est divisée en 25 triangles élémentaires avec un total de 21 nœuds. [...]

[...] Les potentiels Ve1, Ve2 et Ve3 aux nœuds et 3 sont respectivement obtenus en utilisant la relation c'est-à-dire: y V e 3 , y ) Ve1 ( x y1 ) 2 Ve2 y2) Figure [ ] [ ] 𝑉 𝑒 𝑥1 𝑦1 𝑎 𝑉 𝑒 2 = 1 𝑥2 𝑦2 𝑏 𝑉 𝑒 𝑥3 𝑦3 𝑐 x • et A est l'aire de l'élément e c'est-à-dire: 𝐴= 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 • Il est à noter que l'équation donne le potentiel à n'importe quel point à l'intérieur de l'élément pourvu que les potentiels aux sommets soient connus; ce qui n'est pas le cas dans l'analyse par différence finie puisque les potentiels sont seulement connus en des points précis du maillage. ² n est le nombre de nœuds, N est le nombre d'éléments, et est appelé matrice globale des coefficients, qui est l'assemblage de chaque matrice élémentaire des coefficients. Remarquons que pour obtenir Eq nous avons considéré que toute la région solution est homogène pour que soit constant. [...]

[...] Pour une 𝜀 région hétérogène comme montrée sur la Fig par exemple, la région est discrétisée de sorte que chaque élément fini soit homogène. Dans ce cas, Eq. reste valable, mais ce n'est pas le cas pour Eq. car • ou tout simplement varie d'un élément à 𝜀𝑟 devons remplacer 𝜀 ( ¿ 𝜀𝑟 𝜀 l'autre. Pour appliquer Eq. nous par et multiplier l'intégrale de Eq. [...]

[...] • Si le nœud de l'origine a les coordonnées alors les coordonnées du nœud suivant seront 𝑥 → 𝑥 + 𝛥𝑥 𝑦=0 ² Maillage automatique - Domaine rectangulaire • Pour générer la matrice nl contenant la correspondance entre les nœuds globaux et locaux, il suffit de trouver une relation entre ces 2 paramètres; cette relation dépendant de nx, ny et des autres nœuds. • Dans la plupart des cas, nous avons besoin de la liste des nœuds dont le potentiel est connu. [...]