Les méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Thèmes abordés

Produit scalaire, famille de vecteurs, cours de mathématiques, équations du second ordre, logarithme, exercices et corrigés, fonction, convergence, optimisation, tests, décomposition, vecteur dans une base, équation linéaire, théorème, numériques

Résumé du document

Les méthodes Gauss, Cholesky ou QR permettent de résoudre le système linéaire Ax = b. On les appelle des méthodes directes. Il existe en fait une autre famille de méthodes appelées itératives. Dans ce type de méthodes, l'objectif est de construire une suite (...) qui converge vers la solution du problème.

La matrice B et le vecteur c étant construits à partir de la donnée du système linéaire Ax = b. La matrice B dépend seulement de la matrice A.
Les méthodes itératives s'imposent, entre autres, dans la résolution des schémas numériques modélisant les équations aux dérivées partielles. Elles se justifient aussi lorsque la matrice du système est creuse et, par conséquent, peu coûteuse à stocker.
Ce sont ces méthodes itératives qui fondent aujourd'hui, par exemple, le principe des moteurs de recherche sur la toile tels que Google.

Extraits

[...] On désigne par la solution exacte de notre système linéaire. le produit scalaire euclidien et la norme associée. Étant donné on pose : Et pour tout , on définit le k-ième sous espace de Krylov engendré par par : Pour tout , il existe unique tel que : Le vecteur minimise la norme euclidienne du résidu dans le sous- espace affine ; il est appelé le k-ième vecteur itéré de la méthode GMRES (Generalized Minimal Residual Method). Commentaires : 1. [...]

[...] Étant donnée une matrice inversible A et un vecteur on souhaite calculer la solution x du système linéaire Ax = b. Supposons qu'on ait trouvé une matrice B et un vecteur c tel que la matrice soit inversible, et tels que la solution unique du système linéaire x = Bx + c soit également la solution de Ax = b. La forme du système x = Bx + c suggère la définition d'une méthode itérative de résolution du système linéaire Ax = b : On se donne un vecteur initial arbitraire, et on définit la suite de vecteurs par : On dit que la méthode itérative est convergente si : Le résultat suivant donne le critère fondamental de convergence des méthodes itératives. [...]

[...] Les méthodes itératives de résolution d'un système linéaire Université Ibn Zohr, Agadir - Année universitaire : 2016/2017. Introduction Les méthodes Gauss, Cholesky ou QR permettent de résoudre le système linéaire Ax = b. On les appelle des méthodes directes. Il existe en fait une autre famille de méthodes appelées itératives. Dans ce type de méthodes, l'objectif est de construire une suite qui converge vers la solution du problème. Cette suite se présente sous la forme : La matrice B et le vecteur c étant construits à partir de la donnée du système linéaire Ax = b. [...]

[...] La méthode itérative est convergente ; 2. Ρ(B) [...]

[...] La matrice d'itération pour cette méthode est : Donnons maintenant une implémentation sous Matlab de la méthode de Gauss- Seidel : II. La Méthode du gradient conjugué. Avant d'étudier l'algorithme du gradient conjugué, nous allons donner tout d'abord un aperçu de la méthode. Soit A une matrice réelle d'ordre symétrique et définie positive. Soit b . On désigne par la solution exacte de notre système linéaire. Pour tout x , on note : Et Où On note par la norme euclidienne. Et on pose pour 1. [...]