Matrices et systèmes linéaires en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Matrices irréversibles, systèmes linéaires, formules mathématiques, produit matriciel, matrices triangulaires supérieures, relation de Chalses, formules de Cramer

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques s'intéressant aux matrices et systèmes linéaires, principalement sous la forme de formules mathématiques. Des définitions, théorèmes et divers corollaires sont introduits pour cela. Par exemple, la relation de Chalses est la suivante : (n,p) x (p,q)=(n,q). Un des théorèmes mentionnés dans le document est le suivant : "l'ensemble des matrices diagonales est stable par combinaisons linéaires et produits. Idem pour celui des matrices triangulaires supérieures, pour celui des matrices triangulaires inférieures".

Extraits

[...] et doivent être commutatif ( . Définition : Soit . La transposée de , notée , est la matrice de telle que : . Proposition : Soit , soit . . . Théorème : Soit Définition : Soit . On dit que est : symétrique : si . antisymétrique : si . Théorème : Soit . Il existe un unique couple tel que : est symétrique. est antisymétrique. . Définition : Soit . On dit que est : diagonale si : . [...]

[...] Matrices et opérations Définition : Soit . Une matrice est une famille de éléments de , généralement présentée en tableau : qu'on note aussi . Notations : s'appelle le coefficient de en position . s'appelle la -ième colonne de . s'appelle la -ième ligne de . L'ensemble des racines est noté . Cas particuliers : : on dit que les matrices sont carrées de taille , et on note . : on dit que ce sont des matrices colonnes. : on dit que ce sont des matrices lignes. [...]

[...] Théorème : L'ensemble des matrices diagonales est stable par combinaisons linéaires et produits. Idem pour celui des matrices triangulaires supérieures, pour celui des matrices triangulaires inférieures. II. Systèmes linéaires Tout système linéaire revient à un produit matriciel : De manière générale, résoudre un système linéaire , c'est résoudre avec l'inconnue dans et . Si B = on dit que le système est homogène. Définition : III. Matrices inversibles Définition : est inversible s'il existe telle que : En cas d'existence, est unique et est notée . [...]