Les matrices : cours et exercices

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Ecole d'ingénieurs portant sur les matrices, outil aux multiples usages. Il regroupe les principaux théorèmes et propriétés qui régissent le fonctionnement des matrices en mathématiques dans une première partie.

Extraits

[...] Pour la matrice suivante le déterminant développé selon la première ligne est . Remarque sur la définition 7 : Le signe des co-facteurs sont donnés par le tableau suivant : Définition 6 : Le nombre est appelé le déterminant de On le note Ici, est développé selon la troisième ligne. Si , admet une solution unique : d'après les formules de CRAMER. Où sont obtenus en remplaçant dans les cœfficients de y et z dans par le second membre . [...]

[...] Soit D la famille de vecteurs constituée avec les bases de ker(f) et Im(f) déterminées aux questions précédentes. Cette famille D forme-t-elle une base de pour toute valeur de Ecrire la matrice quand D est une base de . ( Corrigé Soit . D'où , ker(f)= et dim[ker(f)]=1. D'après le théorème de la dimension, dim[Im(f)] = dim( 1=3. Ceci est l'équation cartésienne de Im(f). Une base de Im(f) peut être avec . La famille de vecteurs D est . Est-ce une base? [...]

[...] On exprime y et z en fonction de b et c. Théorème 10 : Soit , avec n l'ordre de la matrice. Théorème 9 : est inversible si et seulement si . Définition 16 : Soit . On dit que A est inversible s'il existe tel que . Dans ce cas, on note . Théorème 8 : Si A et B sont des matrices carrés d'ordre alors et . Définition 15 : Si tel qu'il existe , on dit que A est nilpotente. [...]

[...] On choisit comme vecteur propre associé à la valeur propre J'ai donc 3 vecteurs. Forment-ils une base? La base forme bien une base. On a donc . Exercice 10 Résolution d'un système différentiel linéaire ( Enoncé Soit le système différentiel linéaire avec où f est une application linéaire de dans , C la base canonique de et . Réduire la matrice A. On indiquera la matrice de passage P de la base canonique à la base de vecteurs propres B et on calculera . [...]

[...] Remarque sur la définition 5 : Si , alors admet une solution unique. Les formules de Cramer donne : Définition Soit . On appelle le nombre le déterminant du système. On le note Espace vectoriel de dimension point y y Définition 4 : Soient : dim(E) = B une base de E dim(F) = C une base de F φ : E F une application linéaire Φ est entièrement caractérisé par les composantes des images d'une base de E dans une base de F. [...]