Eléments de calculs matriciels

Résumé du document

Le tableau ci-dessous indique les coûts de revient unitaire en euros d'un lave-linge (L.L.) et d'un lave-vaisselle (L.V.), ces coûts étant ventilés en matière première (M.P.), main d'oeuvre (M.O.), et frais divers (F.).

(...) On a placé entre parenthèses les valeurs numériques de ce tableau. Ce nouveau tableau U est appelé matrice. Il résume les quantités significatives. Il suffit de se rappeler que la première ligne concerne la matière première, la deuxième, la main d'oeuvre, la troisième, les frais. De même la première colonne concerne les lave-linges, et la deuxième colonne, les lave-vaisselles.
Comme cette matrice contient 3 lignes et 2 colonnes, on dit que c'est une matrice (3;2) ou encore que sa dimension est (3;2).

Définition : On appelle matrice (n;p) un ensemble de nXp valeurs numériques placées dans n lignes et p colonnes et encadrées conventionnellement par des parenthèses.
Lorsqu'une matrice n'a qu'une colonne (matrice uni-colonne), donc s'il s'agit d'une matrice (n;1), on dit alors qu'on a affaire à un vecteur de dimension n, où possédant n composantes.
Une matrice ayant autant de lignes que de colonnes, de dimension (n;n), est dite matrice carrée d'ordre n.

Les matrices permettent de modéliser de nombreux phénomènes de natures très différentes comme le montrent les deux exemples suivant (...)

Cet exemple résume la situation suivante : sur chaque ligne du tableau de gauche sont indiqués les nombres d'heures de main d'oeuvre nécessaires à la fabrication de trois objets (notés A, B et C) et ceci dans quatre ateliers distincts. A droite est écrite H, la matrice (4;3) correspondante. Cette présentation est fréquente en programmation linéaire.

(...) Ici le tableau représente les notes sur 20 de cinq étudiants dans quatre disciplines (Communication, Mathématiques, Gestion, Anglais), et à droite est écrite N, la matrice (5;4) correspondante.

Notation : une matrice A de dimension (n;p) étant donnée, nous noterons aij le coefficient de cette matrice située à la ième ligne et à la jème colonne. Le couple d'indices est encore appelé le rang du coefficient aij. Ainsi, dans la matrice précédente, a14=13. C'est la note de l'étudiant 1 en Anglais. Le couple 14 (lire "un-quatre") est son rang. De même a32=5, a23=4 alors que a45 n'existe pas (il n'y a que quatre colonnes).

Nous noterons aussi (aij) une matrice de dimension (n;p) dont on ne précise pas les coefficients (...)

Extraits

[...] Remarquons que, manuellement la résolution du système linéaire (voir ci-dessous) écrit sous forme matricielle A(X=D est plus rapide que le calcul de A-1. Mais si nous voulons retrouver la solution avec une nouvelle valeur de il faut reprendre la résolution du système (du moins en partie). L'utilisation de A-1 permet la réitération dans ce type de problème. Ici le système à résoudre s'écrit : . [...]

[...] Beaucoup de calculatrices permettent le calcul matriciel. C'est le cas de la CASIO Graph65 par exemple. En allumant la calculatrice, on découvre l'icône MAT C'est ici qu'on peut créer des matrices en les désignant par les lettres majuscules de l'alphabet (on peut donc en créer 26 et une 27ième matrice de résultat est stockée sous le nom ANS). Après s'être positionné sur la ligne de la matrice à définir, on tape ses dimensions : d'abord le nombre de ligne qu'on valide en appuyant sur EXE, puis le nombre de colonnes qu'on valide en appuyant sur EXE ; il apparaît une matrice aux dimensions demandées ne contenant que des 0 Il reste ensuite à la remplir, chaque coefficient étant validé à l'aide de la touche EXE. [...]

[...] Plus généralement : Définition : soit A=(aij) une matrice et k un réel quelconque. La matrice B=(bij) telle que B=k.A a même dimension que A et est définie par : bij=k(aij. Autrement dit, chaque coefficient est multiplié par k. Dans l'écriture de cette opération, l'usage commande que le réel k soit toujours placé à gauche de la matrice A. L'opération que l'on vient de définir possède les quatre propriétés suivantes (elles peuvent paraître évidentes, mais elles n'en sont pas moins fondamentales dans la théorie générale) : pour toute matrice on a : 1.A=A. [...]

[...] Cette définition n'a de sens que si les matrices B et C sont de même dimension. On peut généraliser cette définition à un ensemble de n matrices de même dimension affectées de n coefficients réels. Exemple On considère les quatre vecteurs (matrices uni-colonnes) suivants : u1= ; u2= ; u3= ; u4= La combinaison linéaire v=3.u1+2.u2−u3 obtenue à partir de trois de ces vecteurs est égale au vecteur nul sans qu'au moins l'un des trois coefficients soit nul. On dit que les trois vecteurs u1, u2et u3 forment un système lié. [...]

[...] On fait ensuite la somme des produits des coefficients situés sur les diagonales descendantes (en bleu), la somme des produits des coefficients situés sur les diagonales montantes (en rouge), et enfin la différence de ces deux sommes. En pratique, on présente les calculs ainsi : d'où : det=(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) (a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12). Reprenons l'exemple précédent : d'où : La règle de SARRUS donne rapidement le résultat lorsqu'il y a des 0 sur les diagonales. Exemple Cherchons à inverser la matrice . Calculons le déterminant de A. d'où : 0. Le déterminant est donc nul. [...]