Matrices de changement de base

Thèmes abordés

Matrices de changement de base, vecteur dans une base, application linéaire, changement de base, rang d'une matrice

Résumé du document

La matrice de passage de B à B' est donc la matrice des coordonnées de la famille B' dans la base B.
On l'écrit donc en utilisant les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne.
Une matrice de changement de base est toujours une matrice carrée !

Extraits

[...] Enonc´ : Soit f L(R2 d´finie par f (e1 ) = e1 + 2e2 et f (e2 ) = + e2 B = e2 ) est la base canonique de e e u R On pose e1 = 2e1 e2 et e2 = e1 e Exprimer la matrice de f dans la base B puis dans la base B Solution : On a M = M atB ) = , P = M atB ) = , P = , donc M atB ) = P M P = . Compl´ments : Rang d'une matrice e On a vu qu'on peut associer ` toute matrice une (plusieurs) application lin´aire. Ceci va nous permettre de d´finir le rang a e e d'une matrice ` l'aide du rang d'une application lin´aire. a e D´finition 4.1 Soit A Mn,p et f L(Mp1 Mn,1 son application lin´aire (canoniquement) associ´e. [...]

[...] Notons X = M atB1 X = M atB2 Y = M atB1 et Y = M atB2 On a alors Y = M X et Y = M X , et, comme X = P X et Y = P Y , on a donc aussi P Y = M P X , donc Y = P M P X , et, par suite, M X = P M P X . Ceci ´tant valable pour tout x donc pour tout X Mn,1 on en d´duit que M = P M P. cqfd. e e Cela conduit ` la d´finition suivante : a e D´finition 3.2 Deux matrices A et B de Mn sont semblables s'il existe une matrice P de Mn inversible telle que : e B = P AP. Remarque. Cette d´finition n'est apparemment pas sym´trique en A et B. [...]

[...] = λφ(x) + φ(y) λxn + yn xn yn donc φ est bien une application lin´aire. e Pour tout x φ(x) = 0 x = 0e1 + . + 0en = donc Kerφ = et φ est donc injective. Enfin, comme dim(E) = n = dim(Mn,1 φ est aussi surjective (th. du rang), et donc bijective. Corollaire 1.1 Soit x et y deux ´lements de E et λ, µ deux r´els, e e M atB (λx + µy) = λM atB + µM atB D´monstration. s'obtient par lin´arit´ de φ. [...]

[...] + xn en sa d´composition dans la base B. ee e Le n-uplet xn ) est le n-uplet de coordonn´es de x dans base B. e la x1 . On peut associer ` x une matrice colonne, not´e M atB = . . a e . xn Remarque. Comme la d´composition dans une base est unique, le n-uplet de coordonn´es est unique, et donc la matrice associ´e ` x e e e a dans la base B est elle-aussi unique. [...]

[...] On ´crit cette matrice en collant les matrices colonnes repr´sentant les images des vecteurs de la base de d´part dans la e e e base d'arriv´e. e D´finition 2.2 e Soit E un espace vectoriel, u et B une base de E. On appelle matrice de u dans la base B et on note M atB la matrice M atB,B Th´or`me 2.2 Ecriture matricielle de y = f e e Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives BE et BF . [...]