Matrices et applications linéaires : définitions et théorèmes

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Matrices et applications linéaires, définitions et théorèmes, cours de mathématiques, base d'équivalence, matrice équivalente, matrice semblable, espaces vectoriels

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques qui se concentrent sur les matrices et applications linéaires, principalement sous la forme de formules mathématiques. Diverses définitions, théorèmes, propriétés et remarques composent le document. Ceux-ci permettent de calculer simplement le rang d'une application linéaire par l'algorithme du pivot de Gauss. Par exemple, un des théorèmes cités est le suivant : "soit E,F des espaces vectoriels de dimension finie, B,C base de E et F. dim E = p, dim F = n", ou encore "deux matrices semblables ont la même trace. La réciproque est fausse".

Extraits

[...] Matrices semblables (carrées) Définition : Soit . La trace de est : . Théorème : La trace est une forme linéaire et . Définition : Soit . On dit que est semblable à si : . Propriété : La relation « être semblable à » est une relation d'équivalence sur . Théorème : Deux matrices semblables ont la même trace. Remarque : La réciproque est fausse. Définition : Soit de dimension finie et f . On appelle trace de , notée , la trace de la matrice de dans n'importe quelle base. [...]

[...] Soit . Alors : . Remarque : Il y a deux formules de changement de base. Théorème : Soit de rang . Alors, il existe des bases et de et telles que . B. Matrices équivalentes Définition : Soit . On dit que est équivalente à si : tel que . Théorème : La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur . Théorème : Soit . Alors : et sont équivalentes Elles ont le même rang. [...]

[...] Matrices et applications linéaires I. Matrice d'une application linéaire Définition : Soit et deux -espaces vectoriels de dimension finie. Soit base de et base de . Soit . Alors : la matrice de dans les bases et est : . Si . On note . Définition : Soit un -espace vectoriel et alors Définition : Soit , Soit la base canonique de et la base canonique de , alors : . Théorème : Soit base de base de . Alors : . [...]