Cours de mathématiques sur les matrices

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les matrices présentant ce qu'est une matrice et quelles peuvent être leurs applications ainsi que les opérations sur et entre matrice et la notion d'inverse d'une matrice.

Extraits

[...] L'entreprise a des commandes qui se montent à 16 tonnes pour le sans plomb 98, à 20 tonnes pour le sans plomb 95 et à 5 tonnes pour le gas-oil. Combien de jours faut-il faire produire chacune des usines pour minimiser les coûts de production et ne pas être en rupture de stock ? Soient x le nombre de jours de production dans l'usine A et y le nombre de jour de production dans l'usine B. Le coût de production est : C = x + y. [...]

[...] Chaque unité du premier produit X1 demande 2 heures d'usinage dans l'atelier A et 1 heure dans l'atelier B. Chaque unité du second produit X2 demande 1 heure dans l'atelier A et 2 heures dans l'atelier B. Les bénéfices unitaires respectifs sur X1 et X2 sont 4 et 3. On veut déterminer les quantités fabriquées x1 du premier produit X1 et x2 du second produit X2 qui maximiseront le bénéfice de l'entreprise. 1er temps : traduire en termes mathématiques le problème les inconnues. Ici, ce sont x1 et x2 qui représentent les quantités de produits X1 et X2. [...]

[...] La fonction objectif (à maximiser) est : P = 8 x1 + 5 x2 + 10 x3 Les contraintes sur les heures de travail-machine sont : 2 x1 + 3 x2 + x3 ( 400 Les contraintes sur le composant électronique sont : x1 + x3 ( 150 Les contraintes sur l'alliage sont : 2 x1 + 4 x3 ( 200 La contraintes liée à l'accord commercial est : X2 ( 50 De plus, x1, x2 et x3 sont des entiers positifs. Pour résoudre ce problème à 3 inconnues, il va falloir utiliser la méthode du simplexe. [...]

[...] Ce domaine est obtenu en traçant les droites : 2 x1 + x2 = 12 x1 + 2 x2 = 12 x1 = 0 (axe vertical) x2 = 0 (axe horizontal). Ensuite, on cherche dans chaque cas le demi-plan qui vérifie l'inégalité, par exemple en déterminant si l'origine lui appartient. On convient de hachurer ce qui n'appartient pas au domaine à la main. Les points d'intersection des demi-droites qui délimitent le domaine sont les sommets. Ces sommets sont O P Q ( et R 0). On le voit par lecture. On le démontre en résolvant les systèmes. [...]

[...] On pourrait écrire le système précédent comme le produit matriciel suivant : Les coefficients des deux dernières lignes de la matrice de format sont les "données techniques" du problème, les coefficients de la matrice colonne de format sont les variables compris les variables d'écart). Sur le modèle des matrices augmentées, on va maintenant introduire le premier tableau du simplexe. Pour x1 = x2 = e1 = 12 et e2 = 12, et le bénéfice vaut 0. Pour améliorer cette fonction économique, on va se déplacer de sommet en sommet en suivant des arêtes. Pour se déplacer, on choisit de donner une valeur positive à la variable qui a le coefficient le plus élevé dans la fonction objectif. [...]