Résolution d'équations avec Matlab

Résumé du document

Résolution des systèmes : x^2+xy-2y^2=4 ; et x*exp(x)+y*exp(y)=0. Dossier comportant tous les calculs (foyers et asymptotes de l'hyperbole, jacobienne du système etc...), ainsi que le programme Matlab permettant de tracer les courbes et de trouver la solution du système.

Extraits

[...] On sait que ces points passeront par la droite d'équation (axe de symétrie des deux asymptotes de C1 : et ) Ainsi, F1 doit vérifier le système (d'après Pythagore) Symétriquement,les coordonnées de F2 sont : II) Tracé de la courbe C2 Méthode de Newton Pour les fonctions à une seule variable, nous utilisions la fonction : Généralisons cette formule pour l'appliquer à une fonction à 2 variables et en prenant y comme variable et par des itérations sur x : D'où = = = Résolution par itérations de l'équation avec la variable y Programmation sous Matlab : %Méthode de Newton for k=1:100 0.1 end plot(x,y) hold on plot(y,x) Symétries On remarque que si on remplace x par y et y par on obtient exactement la même équation, la courbe C2 admet donc la droite d'équation y=x comme axe de symétrie. Valeur grossière du point satisfaisant le système Sur ce graphique, on peut lire une valeur grossière du point satisfaisant le système, le point III) Jacobienne de f Soit la matrice jacobienne de f. [...]

[...] Au voisinage de donc J est inversible en tout point proche de IV) Méthode de Newton-Raphson appliqué à la fonction f Pour les fonctions à une seule variable, nous utilisions la fonction : Généralisons cette formule pour l'appliquer à une fonction à 2 variables : D'où : En effectuant des itérations sur en partant du point = , au bout de 4 itérations et avec une précision de 10-9, on obtient la solution du système . Programmation sous Matlab : Pour trouver la solution de notre système, nous étudions la suite et si cette suite converge, elle nous donnera les solutions du système. Nous avons créé un programme permettant de choisir soi-même les valeurs de x0 et y0 ainsi que la précision souhaitée. [...]

[...] Recherche des asymptotes Pour trouver les asymptotes de C1, on cherche les équivalents en de ses deux expressions : ~ ~ ~ x ~ ~ ~ Programmation sous Matlab : %Les asymptotes de C1 0.01 z1=x z2=-x/2 hold on plot(x,z1,'b',x,z2,'b') Recherche des foyers Pour trouver les foyers de C1 d'équation , on commence par chercher les foyers de la courbe d'équation qui représente la même hyperbole mais dans un repère différent, puis on effectuera un changement de repère pour trouver les coordonnées de ces points dans le repère d'origine. On sait que dans ce nouveau repère les foyers F1 et F2 auront pour cordonnées : F1 et F2 Or Donc dans ce repère, les coordonnées des foyers F1 et F2 sont respectivement et . [...]