Introduction à la théorie des ensembles

Résumé du document

L'objectif de ce cours de mathématiques est de présenter quelques thèmes d'une manière à appréhender les concepts exposés de façon pratique, ceci débarrassé de toute considération théorique et en mettant l'accent sur l'aspect logique de leur utilisation nécessaire à la mise en oeuvre de modèles servant à des cours d'algorithmique et de programmation.

Extraits

[...] A UB Card A ^ B = . Card AUB = . [...]

[...] = . Déterminer Card A U B et Card A + Card B - Card A ^ B Ceçi permet de montrer que Card A U B = Card A + Card B - Card A ^ B On évitera de compter 2 fois les éléments de l'ensemble A B Exercice 2 On considère les ensembles suivants A = l'ensemble des messieurs B = l'ensemble des personnes à lunettes Que désigne les ensembles A B et A U B ? [...]

[...] C.N.A.M.-UV 063-2a - Introduction à la théorie des Thème 12 Introduction à la théorie des ensembles 1 Définitions et terminologie On appelle ensemble une collection d'objets caractérisé par une propriété commune Soit A l'ensemble des 5 premiers nombres entiers paires que l'on note A = { 2,4,6,8,10} Les objets sont appelés éléments de A On dit que l'élément 2 appartient à l'ensemble A A Ceçi est symbolisé par 2 Par opposition l'élément 3 n'appartient pas à l'ensemble A Ce qui est symbolisé par 3 A L'ensemble B = { 2,4 } est appelé sous-ensemble ou partie de l'ensemble A On dit aussi que le sous-ensemble B est inclus dans l'ensemble A noté A Le nombre d'élément d'un ensemble ou partie d'un ensemble s'appelle Cardinal et se note Card Ainsi, on Card A = 5 et Card B = 2 On utilise souvent la représentation en diagramme Euler-Venn 2 * * 4 A * * 6 * * 3 (est en dehors du diagramme) C.N.A.M.-UV 063-2a - Introduction à la théorie des ensembles- Le complémentaire de l'ensemble B = { 2,4 } dans A = { 2,4,6,8,10 } est l'ensemble des éléments n'appartenant pas à B c'est à dire le sous-ensemble noté: _ B = { 6,8,10 } ( se lit B barre ) Représentation en diagramme Euler-Venn _ des ensembles B et B A 2 * * * B * 8 _ B 10 * L'ensemble qui n'a aucun élément s'appelle ensemble vide et se note φ Un ensemble réduit à un élément s'appelle singleton, par exemple On considère les sous-ensembles { 2,4,6,8 } { 6,8,10 } et L'intersection des ensembles C et D est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux ensembles C et D que l'on note: C D = { 6,8 } et se lit inter L'union des ensembles C et D est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux ensembles C = { 2,4,6,8 } ou à D = {6,8,10 } que l'on note: C D = { 2,4,6,8,10 se lit union } est égal à l'ensemble A et C.N.A.M.-UV 063-2a 2 * * * - Eléments de Théorie des Ensembles- * 3 A * * Les ensembles A1 = { 2,4,6 } et A2 = { 8,10 } n'ont pas d'élement commun, on dit que A1 et A2 sont des ensembles disjoints et on écrit A1 A2 est égal à l'ensemble vide noté Exercice résolu 1 On considère l'ensemble suivant E et les sous-ensembles de E suivants A = et B = { et le singleton Tracez le diagramme de Venn équivalent Déterminer les sous-ensembles suivants: A B A C A C = A U B B C = = = = B U C = C.N.A.M.-UV 063-2a - Introduction à la théorie des ensembles- A = _ _ A B _ _ A U B B = _ _ sont éléments communs à A et B = 3 et 5 = 1,2,3,4,5 L'ensemble C que l'on note aussi de C par rapport à l'ensemble E C = Exercice résolu 2 E \ C est le complémentaire Dans une petite entreprise, le personnel est réparti de la manière suivante: Nom Fonction Service Salaire Ancienneté A Chercheur ans Chercheur ans Commercial ans Directrice ans Président ans Technicien ans Enumérer les éléments des sous ensembles suivants: "Ensemble complet" = { "Chercheur" = { A,B } "Etre chercheur ou technicien " = { A,B,G } C.N.A.M.-UV 063-2a - Eléments de Théorie des Ensembles- "Etre Commercial ou directrice ou technicien " = { C,E,G } "Etre président et technicien " = { F,G } "Appartenir au service 20 " = { A,B } "Etre chercheur ou technicien du service 10" = { A,B } "Appartenir au service 30 " = { C } "Avoir au moins 10 ans d'ancienneté " = { A,B,C,D,E,F } "Avoir un salaire de moins de 10000 F " = { } "Appartenir au service 30 et avoir un salaire de plus de 10000 F " = { "Appartenir au service 20 ou avoir un salaire de plus de 10000 F " = { "Appartenir au service 30 et un salaire de moins de 10000 F " = "Appartenir au service 20 et un salaire de moins de 10000 F et avoir au moins 10 ans d'ancienneté" = Exercice à résoudre Exercice 1 Dans une section de collège,19 élèves étudient l'anglais, l'allemand et selon la répartition est représentée par le diagramme de Venn suivant: A * * * * * 8 * * * * 5 * * * * * * * * * * 6 B Effectif total = Card E = Card A U B = 8+5+6 =19 C.N.A.M.-UV 063-2a - Introduction à la théorie des ensembles- On utilisera et complètera le tableau suivant: Langue(s) étudiée(s) Anglais Allemand Ensemble A B Nombre élèves Card A = 8 + 5 = 13 Card B = . Anglais ET Allemand . [...]

[...] } C.N.A.M.-UV 063-2a - Eléments de Théorie des Ensembles- Y = {ensemble vide} Z = {ensemble vide } _ Y = { . } _ Z = { . [...]

[...] Tracez le diagramme de Venn correspondant Exercice 3 On considère l'ensemble suivant X = { 0,4,8,12,16} Chercher les complémentaires des ensembles suivants: _ V = { 8,12,4} V = { . } _ W = W = { . [...]