La théorie de la dimension

Résumé du document

Cours de mathématiques destiné en particulier aux étudiants des classes préparatoires sur la théorie de la dimension. Le cours en lui-même est présenté en une quinzaine de pages et est ensuite illustré par un ensemble d'exercices accompagnés des corrections pour mettre ainsi en application les acquis.

Extraits

[...] Soit y commun aux deux sous-espaces composants. On peut donc l'écrire sous la forme f avec x(E et f k(y)=0E. Mais alors, par composition : f 2k(x)=0E, c'est à dire x(Ker(f 2k)=Ker(f k). On en déduit f k(x)=0E. La somme est bien directe. [...]

[...] En décomposant pour séparer le rôle des deux paramètres on obtient ; x(R , y(R } Ainsi E est le sous espace de R4 engendré par le système(u, de deux quadruplets ; Reste à remarquer que ce système est libre. En effet u ne peut être multiple de v car sa première composante est 1 alors que celle de v est nulle, de même l'examen des deuxièmes composantes montre que v ne peut être multiple de u. E est un plan vectoriel de base Soit x un vecteur de E. [...]

[...] A est bien de dimension finie p. Enfin, si la base B de A construite ci dessus apparaît comme un système libre maximal de donc une base de cet espace total. E est alors formé par l'ensemble des combinaisons linéaires d'un système de vecteurs de A et est donc inclus dans A vu la stabilité d'un sous-espace pour les combinaisons linéaires. On a bien établi E=A Si A et B sont deux sous-espaces de dimension finie d'un même K-espace alors A(B et A+B sont aussi de dimension finie et satisfont à l'équation aux dimensions suivante : dimK(A+B)=dimK(A)+dimK(B)-dimK(A(B) En particulier, si la somme est directe : dimK(A(B)=dimK(A)+dimK(B) _ Remarquons d'abord que si un des sous espaces A ou B est réduit à le résultat sera évident vu la convention dimK{0E}=0. [...]

[...] On a en fait repris l'idée essentielle des méthodes ascendantes et descendantes dans lesquelles une base apparaît soit comme un système libre maximal, soit comme un système générateur minimal. Résumons l'étude par les équivalences suivantes : Si card(S)=dimK(E) S base de E ( S libre dans E ( S générateur de E Si E est de dimension finie tout sous-espace A de E est nécessairement de dimension finie p inférieur ou égal à n. De plus si p=n ce sous-espace A coïncide avec l'espace total E. _ Si le résultat est évident et tient à la convention adoptée plus haut. [...]

[...] On suppose E de dimension finie n. Montrer que si l'endomorphisme f est nilpotent, c'est à dire si une puissance de f s'annule, alors nécessairement f Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f un élément de LK(E,F). Montrer que f est de rang 1 si et seulement si il existe un vecteur b non nul de F et une application K linéaire non nulle u de E vers K tels que pour tout x de E on ait f(x)=u(x).b Si E=F en déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme de rang 1 soit un projecteur. [...]