Théorèmes sur les fonctions et les dérivées

Résumé du document

Démonstration de plusieurs théorèmes mathématiques sur les dérivées et les fonctions. Document illustré par de nombreux schémas explicatifs, de 2300 mots environ.

Extraits

[...] (preuve par l'hypothèse de départ) b. (définition du nombre dérivé) 3. ça marche pour 1 test pour n+1 : ((f*g)' = f'g+fg') (xn-1*x = xn) 4. ça marche dans l'ensemble N*. Maintenant place à l'ensemble Considérons p>0 et n = : (1/g)' = -g'/g2 algèbre n = C.Q.F.D ( 4. théorème relatif à la dérivée de la somme de deux fonctions A prouver : (F+G)' = F' + G' Hypothèses : F et G sont des fonctions dérivables au point a appartenant à R Leurs nombres dérivés en ces points sont : et Z'y va : définition nombre dérivé propriétés distributives d'une fonction algèbre tranquille limite de somme = somme des limites ces limites existent par hypothèse, donc (F+G)' aussi. [...]

[...] Les hypothèses sont suffisantes mais pas nécessaires : F n'est pas dérivable en F n'est pas continue en 12. théorème des accroissements finis Théorème : Si(hypothèses) : F est continue dans et F est dérivable dans il existe au moins un point c tel que F'(c) = exprime la pente moyenne de la courbe. Dessin : Preuve : On s'intéresse à l'écart entre la réalité(F) et le comportement moyen(s) : faisons une transition de la fonction en faisant F-s : cf. [...]

[...] Conclusion - est continue en a (cf. plus haut) - x-a est continue en a(c'est une droite) - continue(c'est une constante) - Donc, est continue, grâce au théorème qui dit que la somme/produit de fonctions continue donne une fonction continue CQFD ( N.B (corollaire) : la réciproque n'est pas valable : contre-exemple : valeur absolue 10. théorème liant l'extremum local à sa dérivée nulle A prouver : S'il existe un extremum local à un point la dérivée à ce poit est nulle : F'(c) = 0. [...]

[...] C'est-à-dire que la fonction f coulisse vers cette droite y=mx+h à l'infini. Pour trouver m : propriété des limites (somme des limites = limite des sommes) division par x et propriété des limites limite d'une constante = constante et h/x 0 à l'infini Pour trouver h : propriétés limites limite d'une constante = constante Cas particulier de l'asymptote oblique = asymptote horizontale : quand h = 0. Voilà ( 15. sin'(x)=cos(x) A prouver : sin'(x)=cos(x) Hypothèses : F est dérivable sur I. [...]

[...] Ouverture : trouver l'équation de la droite tangente à un point a sur une fonction Difficile : solution : trouver équation droite pente moyenne entre points a et a+h Pente = : plus h est petit, plus la pente s'approche de la pente de la droite tangente t. h tendant vers la pente sera celle de la droite tangente, pour autant que la limite existe. Si cette limite existe elle s'appelle nombre dérivé. Définition : Une fonction f est dérivable en a si existe. [...]