Théorèmes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle

Résumé du document

Fiche mathématique de 2 pages au format Word sur les théorèmes de l'analyse fonctionnelle. Au programme : Théorème de convergence dominée, théorème de convergence normale, convergence uniforme et continuité, convergence uniforme et primitivation, convergence uniforme et dérivation, continuité des intégrales dépendant d'un paramètre, théorème de Leibniz.

Extraits

[...] Remarque : cela revient à Cas des séries Si converge uniformément sur X et si n fn est continue en alors ; f)n est continue en a. Convergence uniforme et primitivation Si (fn)C0(I,)N converge uniformément vers f sur tout segment inclus dans alors la suite des primitives des fn s'annulant en a converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers la primitive de f s'annulant en a. Convergence uniforme et dérivation Si (fn)C1(I,)N converge simplement vers f sur I et si 'n) converge uniformément vers g sur tout segment inclus dans alors f est C1 sur I et f ' = g. [...]

[...] p0) converge uniformément sur tout segment inclus dans alors ; fn) est Ck (resp. sur I et pk (resp. p0) = ; fn(p)). Continuité des intégrales dépendant d'un paramètre Soit f : XI) partie d'un espace métrique ; I intervalle réel). Si xX est C0pm sur I tI est C0 sur X ( C0pm(I,R+) telle que existe et que (x,t)XI Alors est définie et continue sur X. Théorème de Leibniz Si xX est C0pm sur I (x,t)XI est définie et est C0pm et est C0 C0pm(I,R+) telle que existe et que (x,t)XI existe Alors est définie et C1 sur X de dérivée (x,t).dt). [...]

[...] Remarque : cela revient à (lim = lim Cas des séries Si si converge simplement et si 'n} converge uniformément sur tout segment inclus dans alors ; fn) est C1 sur I et fn))'= ; fn'). Si (fn)Ck(I,)N (resp. et si pk (resp. p0) converge uniformément vers gp sur tout segment inclus dans alors g0 est Ck (resp. sur I et pk (resp. p0) g0(p) = gp. Cas des séries Si (fn)Ck(I,)N (resp. et si pk (resp. [...]