Cours de Maths : sections planes de surfaces (niveau Terminale S)

Résumé du document

Cours sur les sections planes de surfaces à l'usage des élèves de Terminale S. Il est conforme au programme. Il aborde notamment les lignes de niveau d'une fonction à deux variables, les courbes usuelles, les surfaces de révolution et notamment le cylindre et le cône. Les élèves de l'enseignement supérieur pourront faire le lien avec les quadriques en dimensions 2 et 3.

Extraits

[...] D est une génératrice de ce cône. L'angle π α que font entre elles les droites D et avec α s'appelle le demi-angle au sommet du 2 cône. z A α H M O K y x D F IG Cône de révolution x2 + y 2 = zA tan2 α 6 le plan est alors tangent au cylindre et la droite est une génératrice 11 Si est l'axe Oz, si le point A a pour cote zA , si M est un point quelconque de D distinct de de coordonnées et si l'on appelle H le projeté orthogonal de M sur Oz, alors on a tan(α) = d'où, en élevant au carré : x2 + y 2 = zA tan2 α qui est donc l'équation du cône d'axe Oz, de sommet A et de demi-angle au sommet α Réciproquement, toute équation du type x2 + y 2 λ2 a)2 = 0 est celle d'un cône d'axe Oz π et de sommet le point de Oz de cote a. [...]

[...] Exemples : x2 + y 2 = 3(z + 2)2 est l'équation du cône d'axe Oz, de sommet ; et de demi-angle π π car tan = 3 ; π y + z = 3)2 est l'équation du cône d'axe Ox, de sommet et de demi-angle ; 4 l'équation d'un cône d'axe Oy et de sommet O est de la forme x2 + z 2 = λ2 y 2 ; x2 + y 2 4z 2 4x + 6y + 8z 9 = 0 s'écrit 2)2 4 + + 3)2 9 4(z 1)2 + 4 9 = 0 ou encore 2)2 + + 3)2 = 4(z 1)2 : c'est donc l'équation d'un cône d'axe parallèle à Oz d'équations cartésiennes x = 2 et y = et de sommet le point de cet axe ayant pour cote 1. Intersection avec les plans de coordonnées : L'intersection d'un cône d'axe Oz avec un plan vertical (parallèle à Oz) et notamment avec les plans parallèles à xOz et yOz est soit deux droites sécantes au sommet si le plan contient Oz, soit une hyperbole. [...]

[...] Les courbes d'équation x2 + y 2 = k sont les cercles de centre O et de rayon les courbes d'équation xy = λ sont des hyperboles ayant pour axes (de symétrie) les droites d'équation y = x et y = et pour asymptotes les axes du repère (voir figure précédente). Plus précisément : si λ > les deux arcs d'hyperbole sont dans les 1er et 3e quadrants ; si λ = la courbe est la réunion des deux axes de coordonnées ; si λ [...]

[...] Sections planes de surfaces 1 Fonctions de deux variables Lignes de niveau 1.1 Fonctions de deux variables Définition 1.1 Une fonction f à deux variables est une fonction qui, à tout couple ; de réels associe un réel noté f ; f : ; R2 f ; R Exemples : f ; = 2x2 3y 2 + xy 4 pour tous ; R2 f ; = x + y pour tous ; R ; x2 xy + y 2 f ; = pour tous ; R2 ; ; x(y 2 Remarque : en général on a f ; = f ; 1.2 Lignes de niveau Définition 1.2 Soit f une fonction à deux variables et k un nombre réel. Alors l'ensemble des points de coordonnées ; dans un repère ı, tels que f ; = k est soit l'ensemble vide, soit une courbe appelée ligne (ou courbe) de niveau de f . Une ligne de niveau peut être éventuellement réduite à un point, discontinue, réunion de plusieurs droites. [...]

[...] Plus précisément : 4 éventuellement réduit à un point 9 Théorème 2.2 (admis) Une surface S est une surface de révolution d'axe D si, et seulement si, l'intersection de S avec tout plan orthogonal à D est soit l'ensemble vide, soit un point, soit un cercle centré sur D z = ) et x2 + y 2 z 3 = 1 sont 2 des surfaces de révolution d'axe car, en posant z = on obtient des équations de cercles de centre O (pour certaines valeurs de k). Les courbes d'équation z = x2 + y 2 z = x Cylindre de révolution Soient et D deux droites parallèles. [...]