Cours de Terminale Scientifique sur les probabilités

Résumé du document

Cours de mathématiques de Terminale S sur les probabilités, et leurs multiples applications. Nous récapitulerons ce que sont les cas d'équiprobabilité, les lois de probabilités, les variables aléatoires, les espérances, etc...

Extraits

[...] Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité de tirer une boule précise est . Application : A = { = + + + + par définition = + + + + = B = { = + + + = 4 x = C = { = + + = + + = Plus généralement, si E comporte n éléments et que l'on est en situation d'équiprobabilité, alors la probabilité d'un évènement élémentaire est C'est-à-dire : , alors . Conséquence : Si A comporte t éléments élémentaires, alors En résumer : en équiprobabilité, IV- Exercices Lancer de 3 pièces de monnaies équilibrées Dénombrer les possibilités, construction d'un arbre : 1ère pièce 2ème pièce 3ème pièce résultat - le résultat d'un lancer est un triplet - il y a 8 résultats possible Les pièces sont équilibrées donc les 8 résultats sont équiprobables A les 3 pièces du même côté A = ; B y a une seule pièce sur face B = ; ; Propriétés des probabilités Si A et B sont des évènements incompatible Si alors Exemples : ( A une figure rouge d'un jeu de 32 cartes ( B tirer un trèfle ( tirer une figure rouge ou un trèfle On a donc Cas général Exemple : un jeu de cartes identiques (donc équiprobabilité) A on tire un cœur B on tire une figure on tire un figure en cœur on tire un cœur ou une figure Evènement contraire Preuve : VI- Variable aléatoire Exemple : on lance 3 pièces équilibrées Au vu des résultats, on attribut : à chaque pile à chaque face Les nombres de points à l'issue d'un lancer des 3 pièces est une variable aléatoire notée X 1ère pièce 2ème pièce 3ème pièce résultat nombre de points ( Les valeurs prises par la variable X sont ( On note X=9 l'événement le nombre de points acquit est 9 c'est l'évènement on a ( L'évènement X=5 est réalisé si on a obtenu PPF, PFP, FPP. [...]

[...] + ) propriétés ( = 1 Vocabulaire : L'évènement E est un évènement certain. L'évènement quant à lui est l'évènement impossible. Exemple : avoir une boule de numéro à 2 chiffres = avoir un nombre positif est E La probabilité de tirer une boule à numéro pair est 1. Deux cas se présentent pour les 9 boules : ( Les boules ont des probabilités différentes d'être tirées. Pour faire les calculs, il faudra des informations supplémentaires. [...]

[...] ( Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées, c'est le cas d'équiprobabilité. III- Le cas d'équiprobabilité Avec l'exemple { Par définition de probabilité, on a toujours : = 1 et = + + + . + On est en situation d'équiprobabilité (pour le préciser, le texte dira les boules sont identiques ou on tire au hasard Donc on a = = . = = k Trouver k ? = 1 = k + k + . [...]

[...] ou Complémentaire d'un sous-ensemble de E (ou ) est formé des éléments de E qui n'appartiennent pas à A. ou Remarque : Exemple : E est l'ensemble { A est le sous-ensemble des nombres supérieur ou égaux à 5 B est le sous-ensemble des nombres pairs C est le sous-ensemble des multiples de 3 D est le sous-ensemble des nombres strictement inférieur à 2 { { { ; D est un singleton (ensemble à un seul élément) (ensemble des nombres impairs) est l'ensemble des nombres strictement inférieur à 2. est l'ensemble des chiffres supérieur ou égaux à 2. [...]

[...] II- Définition d'une probabilité Soit E un ensemble appelé univers. exemple : E est une boîte contenant 9 boules numérotées On considère une expérience aléatoire. exemple : tirer une boule dans l'urne Soit A un sous-ensemble de E appelé évènement. exemple : A le numéro de la boule est supérieur ou égal à 5 { B le numéro de la boule est pair. { La probabilité d'un évènement est : ( un nombre noté dans ( = ) + ) + . [...]