Travaux Dirigés d'Analyse

Résumé du document

Le fascicule suivant contient des feuilles de travaux dirigés d'analyse, des devoirs de maison et des contrôles continus (ainsi que leurs corrigés respectifs) destinés aux étudiants de la première année de Licence.

Extraits

[...] Pour cela, il faut obtenir à l'ordre 3 c'est-à-dire sin(x) à l'ordre x x = x ce qui donne, après calculs, sin(x) = 1 + x6 + x3 ε(x). On a sin(x) = x x3! + x4 ε(x). Donc sin(x) 6 ε(x) Soit on se rappelle les premiers termes du développement de tan, soit on les redémontre. Pour cela, on sin(x) peut utiliser tan(x) = cos(x) . Il faut développer sin(x) et cos(x) à l'ordre 4. Pour développer cos(x) , comme le développement de cos(x) commence par on développe cos à l'ordre 4 puis on utilise le développement limité de 1+y à l'ordre 4. [...]

[...] D'après le théorème des fonctions implicites, il existe un intervalle ouvert I de R contenant un intervalle ouvert J de R contenant 1 et une fonction ϕ : I J tels que, pour tout x I et y f = 0 si et seulement si y = ϕ(x). De plus, la fonction ϕ est dérivable sur I et 0 ϕ = . Calculons ϕ(2). D'après ce qui précède, ϕ(2) = y (avec y équivaut à f = 0. Or, f = 0 et 1 J donc ϕ(2) = 1. De plus, ϕ0 = = 1. 41 Pour calculer le D.L. de ϕ à l'ordre on utilise le théorème de Taylor-Young. [...]

[...] La formule de Taylor-Lagrange avec un reste en f nous dit qu'il existe un c a + tel que f + = f + hf 0 + h hn f + . + f + f Pour trouver la valeur approchée à 10 près, on doit trouver un entier n (le plus petit, si possible) n h f 6 Comme f = sin(x), suivant la valeur de f vaut cos(x), sin(x), cos(x) ou sin(x). Dans tous les cas, on a f Donc n h hn f hn Notons log le logarithme de base 10 (c'est-à-dire qu'il vérifie log(10) = 1). [...]

[...] Comment faire pour trouver une telle suite ? On peut chercher une suite n , yn ) de la forme n2b+5a xn = a et yn = b où a et b sont des entiers > 0 à déterminer. Alors f n , yn ) = 8b . Choisissons n n n + n6a n2b−a . Si 8b = 6a, on a et b tels que 8b = 6a. C'est le cas par exemple si a = 3 et b = 4. [...]

[...] La fonction f est dérivable sur et f 0 = y qui est décroissante sur . Soit x > 0. On applique le théorème des accroissements finis sur x + y est continue, et dérivable sur x + Il existe c x + tel que f + f = + 1 x)f 0 = f 0 Donc [...]