Le polynôme de Taylor Mc Laurin

Résumé du document

Comment un ordinateur calcule-t-il ? C'est simple, il suffit d'additionner plusieurs fonctions dérivées. C'est ainsi que l'ordinateur peut par exemple nous donner la valeur de e. Nous la calculerons aussi dans ce document et rien qu'avec un polynôme ! Nous démontrerons le théorème de Rooles (accroissements finis) pour arriver au théorème de Cauchy. Nous démontrerons également comment arriver à la formule du reste.

Extraits

[...] (Nous pouvons approcher sa valeur à n'importe quel point, cependant, quand on approche une valeur au point 0 on parlera des polynômes de Taylor et Mc Laurin.) Que vaux la fonction ex quand x vaux 0 ? 1 Bien sûr ! Le polynôme rechercher est bien = 1 + x car il répond à mes exigence. Voyons ce que cela donne sur un graphique. En rouge il s'agit de la fonction ex et en noir, notre polynôme. Pour être plus précis, nous allons imposer à notre polynôme que sa dérivée soit égale à la dérivée de la fonction ex. [...]

[...] Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionnelles dans les séries infinies. [...]

[...] En 1714 Taylor fut élu secrétaire de la Royal Society, et il y resta du 14 janvier 1714 au 21 octobre 1718, quand il dut se résigner à cause de raisons de santé d'une part, d'autre part par manque de motivation. La période où il fut secrétaire de la Royal Society de Londres fut celle de sa vie où il fut le plus productif en mathématiques. Deux ouvrages furent publiés en 1715, Methodus incrementorum directa and reversed et Linear Perspective qui sont extrêmement important pour l'histoire des mathématiques. Deux secondes éditions furent publiées respectivement en 1717 et en 1719. [...]

[...] + k ! ak k ! ak = ak = Notre polynôme correspond bien à toutes nos exigences. Pour trouver la formule générale, je n'ai plus qu'a remplacé dans mon polynôme de départ les ak et puis généraliser. Pn(x) = + f'(a) + + . + + . + Ou plus formellement : Récupérée de http://fr.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor Détermination théorique du reste Nous allons calculer la différence qu'il y a entre la fonction f et son polynôme à l'aide de la formule du reste. [...]

[...] Notre nouveau polynôme est en gris. Ca suit déjà beaucoup plus notre fonction. Nous pouvons voir, qu'ensuite, pour être plus précis, le polynôme sera = 1 + x + + (En vert) Nous pouvons en déduire une première formule : = Etablissement des conditions que devra respecter le polynôme de Taylor. Soit une fonction réelle d'une variable réelle définie et dérivable jusqu'à l'ordre n sur le voisinage d'un point a. Nous souhaitons approcher f par une fonction polynomiale de degré au plus égal à n en n'utilisant que les valeurs f'(a) fn(a). [...]