Cours de Mathématiques (algèbre et analyse) : préparation Edhec, AST2, MPSI, PCSI, MP, PC BCPST et Ecoles de Commerce - publié le 27/11/2008

Résumé du document

Cours de Mathématiques (algèbre et analyse) : préparation aux concours Edhec, AST2, MPSI, PCSI, MP, PC BCPST et Ecoles de Commerce.

Extraits

[...] C'est ce qu'on peut espérer de plus simple c Romdhane YOUNSI Cours de Mathématiques Exercices : Soient A et B deux matrices réelles semblables dans P BP Montrer qu'elles sont semblables dans Montrer que si deux endomorphismes de C (i.e P GLn , tel que A = R Kn commutent, les espaces pro- pres de l'un sont srables par l'autre. Soient E un K-espace vectoriel, f une forme linéaire sur E et v un vecteur de E. A quelle condition sur f et v l'endomorphisme de E dénie par : φ : x x + f est-il diagonalisable ? [...]

[...] Soit E l'ensemble des suites réelles (un tel que : n un = a + b Montrer que E est un espace vectoriel sur R. b-Quelle est la dimension de E. Montrer que la famille de fonctions dénies sur R par (fα : x eαx est libre 2 Applications linéaires : 2.1 Dénitions Dénition : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f de E dans F est dite linéaire si : β) K E f (αu + βv) = αf + βf On dit aussi que f est un morphisme d'espaces vectoriels. [...]

[...] Soient E et = ) est la matrice de la famille de vecteurs base f (e1 ) , f (e2 ) f (em ) dans la . Remarque : Le cas standard de la dénition précédente est Km et Kn munis de leurs bases canoniques. Justement, on a la correspondance suivante : Théorème: F Soit (ai,j ) une matrice de Mn,m Alors, il existe une unique application m n linéaire de K dans K ayant pour matrice (ai,j ) en prenant comme couple de m n bases de K et de K les bases canoniques. Cette unique application linéaire est dite canoniquement associée à la matrice. [...]

[...] λi ui = 0 λi = Une famille qui n'est pas libre est dite liée Dimension et bases d'un espace vectoriel : Lemme : F K-espace vectoriel et (ui une famille génératrice de E de cardinal p. Alors, toute famille de cardinal au moins p+1 est liée. Soient E un Ce lemme permet de justier la ntion de dimension d'un espace vectoriel Dénition : Un K-espace vectoriel est dit de dimension nie s'il admet une famille généra- trice de cardinal ni. [...]

[...] On note Un isomorphisme est une application linéaire bijective, dite aussi inversible. Un automorphisme de E est un isomorphisme de E dans lui-meme. On note L l'ensemble des applications linéaires de E dans F. l'ensemble des endomorphismes de E. GL l'ensemble des automorphismes de E c Romdhane YOUNSI Cours de Mathématiques Dénitions : Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F. Le noyau de noté Ker(f est l'ensemble des antécédents de 0F par f. [...]