Les suites numériques : propriétés et formules

Résumé du document

Fiche récapitulative de mathématiques sur les suites numériques (Terminale scientifique). Elle présente les suites arithmétiques, géométriques, puis plusieurs propriétés, comme les suites adjacentes. Ce document est un résumé de cours, et présente l'essentiel à savoir (propriétés, formules).

Extraits

[...] - exemples : un = 2n - 1 ; vn = ln (3n + On définit la suite par récurrence, c'est-à-dire que l'on donne le moyen de calculer un terme quelconque, sauf le premier, en fonction de celui ou de ceux qui le précèdent. - exemple : u0 = un+1 = 2 x un + 2. On obtiendra u1 = 2 x 3 + 2 = 8 ; u2 = 2 x 8 + 2 = 18 ; u3 = 2 x 18 + 2 = 38 ; . Représentation Une suite se représente comme un nuage de points, chacun de ces points a pour coordonnées ; un). [...]

[...] + p On démontre que l'équation est vraie pour n = + 23 + . + = ( 1 + 2 + . + p)2 + = ( 1 + 2 + . + p)2 + = ( 1 + 2 + . + p)2 + 2 + 2 + . + + = ( 1 + 2 + . + p + p+1)3. Sens de variation d'une suite Si la suite est définie de façon fonctionnelle, on étudie le sens de variation de la fonction correspondante de manière "classique". [...]

[...] Si la suite est définie par récurrence, on utilise un raisonnement par récurrence pour comparer un+1 et un. Suites bornées Une suite est bornée si il existe deux nombres m et M tels que pour tout n є m un M. Si la suite est définie de façon fonctionnelle, on étudie les bornes de la fonction correspondante de manière "classique". Si la suite est définie par récurrence, on utilise un raisonnement par récurrence pour comparer un, m et M. Suites convergentes Etudier la divergence d'une suite, c'est étudier le comportement de un pour de grandes valeurs de n (c'est-à-dire la limite de un quand n La suite est convergente ssi la limite de quand n est finie, sinon elle est divergente. [...]

[...] On pourra en déduire que pour tout n n0, Pn est vérifiée. Méthode : Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour n n0 : - on démontre que la propriété est vraie pour n = n0 ; - on suppose que la propriété est vraie pour n = puis on démontre qu'elle est vraie pour n = p + 1 - on conclut : la propriété est vraie pour n n0. Exemple : Démontrer par récurrence que pour tout n + 23 + 33 + . [...]

[...] un = up + ( n - p ) r (up étant son premier terme d'indice La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est facilement calculable : S = {nombre de termes} x ({premier terme}+{dernier terme}) / 2 Suites géométriques Une suite est géométrique de raison r si et seulement si chaque terme de la suite sauf le premier s'obtient à partir du précédent en le multipliant par r : = un x r un = up x qn-p (up étant son premier terme d'indice La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique peut être calculée : S = {1er terme} x - r{nombre de termes}) / - r } Raisonnement par récurrence Axiome : Soit Pn une propriété dépendant de l'entier naturel n. Si Pn est vérifiée pour n = n0, et si on suppose que pour n > 0 Pn est vérifiée, Pn+1 est vérifiée. [...]