Les solides de Platon

Résumé du document

Un polyèdre est un solide délimité par des faces polygonales. Chaque côté de chaque polygone constituant une face, correspond avec un côté d'une autre face, et chaque sommet est relié à un autre par une suite d'arêtes dont deux arêtes consécutives sont reliées par un sommet (...)

Extraits

[...] Intéressons nous aux propriétés des sommets des 5 solides de Platon pour comprend ce fait. Un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° pour qu'on puisse dire qu'il est régulier. 1er cas : les polygones réguliers sont des triangles équilatéraux S'il y a 3 triangles équilatéraux en chaque sommet, nous obtenons un tétraèdre. S'il y en a nous obtenons un octaèdre. [...]

[...] Un polyèdre est régulier c'est-à-dire que leurs faces sont toutes identiques et régulières et leurs sommets identiques. Un polyèdre est convexe, c'est-à-dire qu'à l'intérieur d'un polyèdre on ne peut trouver deux points A et B tels que le segment n'est pas intégralement à l'intérieur du polyèdre P. Il n'en existe que 5 : ce sont les solides de Platon. Dans cet exposé, nous allons également parler de duaux. Il faut savoir que chaque solide de Platon a un dual. C'est-à-dire qu'en reliant les centres des faces adjacentes d'un des solides, on obtient un autre solide. [...]

[...] Chaque solide de Platon a une signification dans la Grèce Antique. Ils sont en effet rattachés aux grandes entités qui, selon eux, façonnaient le monde. Ainsi : Le feu est associé au tétraèdre La Terre est associée à l'hexaèdre (cube) L'air est associé à l'octaèdre L'Univers est associé au dodécaèdre L'eau est associée à l'icosaèdre Pour chaque solide de Platon, on peut vérifier la formule d'Euler : f le nombre de faces de du polyèdre régulier convexe a le nombre d'arêtes de celui-ci, s le nombre de sommets de celui-ci, On a toujours : S A + F = 2 En effet : Pour le tétraèdre : 4 6 + 4 = 2 Pour l'hexaèdre : 8 12 + 6 = 2 Pour l'octaèdre : 6 12 + 8 = 2 Pour le dodécaèdre : 20 30 + 12 = 2 Pour l'icosaèdre : 12 30 + 20 = 2 LE TETRAEDRE Le tétraèdre est un des cinq solides de Platon. [...]

[...] Chez les Grecs, il était le symbole de la Terre. Comme tous les solides de Platon, l'hexaèdre, plus communément appelé le cube, est un polyèdre régulier convexe. Ce solide, sans doute le plus connu des cinq, est composé de six faces qui sont des carrés, c'est-à-dire des quadrilatères (polygones à quatre côtés) spéciaux. En effet, le carré est à la fois un rectangle, car il a quatre angles droits, et un losange, vu que ses quatre côtés sont égaux. On peut également voir, sur le cube, douze arêtes égales et huit sommets. [...]

[...] Donc, le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre. LE DUAL LE PATRON DU DU DODECAEDRE DODECAEDRE : L'ICOSAEDRE L'ICOSAEDRE L'icosaèdre est un des cinq solides de Platon. Il représente, dans la Grèce Antique, l'eau. Ce polyèdre régulier convexe est composé de vingt faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a douze sommets et trente arêtes ainsi que cinq faces en chacun des sommets et trois sommets par faces. Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. [...]