Le produit scalaire - publié le 18/03/2009

Résumé du document

Les définitions et propriétés vectorielles concernant le produit scalaire sont valables dans le plan et dans l'espace.

Les démonstrations dans le plan et dans l'espace étant souvent très similaires et la plupart des résultats ayant été vus en classe de Première, ils sont rappelés et étendus à l'espace sans démonstration (...)

Extraits

[...] Soit M ( x ; y ; z ) un point de l'espace. On a ( x - xA ; y - yA ; z - zA ) . M P . = 0 a ( x - xA ) + b ( y - yA ) + c ( z - zA ) = 0 a x + b y + c z - a xA - b yA - c zA = 0 En posant d = - a xA - b yA - c zA , on obtient : M P a x + b y + c z + d = 0 Réciproquement : Soit c et d des réels tels que l'un au moins des réels b et c n'est pas nul. [...]

[...] On en déduit que les expressions du produit scalaire établies dans le plan sont encore valables dans l'espace. A ) Produit scalaire et cosinus Propriété Remarques : Si et sont colinéaires et de même sens, alors . = Si et sont colinéaires et de sens contraire, alors . = - B ) Produit scalaire et projection La notion de projection orthogonale sur un plan est déjà connue. Définition Remarques : Si M appartient à la droite d , M est invariant par la projection orthogonale sur d . [...]

[...] Le plan P perpendiculaire à la droite d en A est l'ensemble des points M tels que la droite est perpendiculaire à d . ( auquel on adjoint le point A ) P est donc l'ensemble des points M tels que est orthogonal à . Le vecteur est donc normal à P. Propriété Propriété Preuve : Soit P un plan, ( a ; b ; c ) un vecteur normal à P et A ( xA ; yA ; zA ) un point de P. [...]

[...] On peut alors toujours choisir une équation de la forme x + y + z + 1 = 0 Lorsque P est un plan parallèle à l'un des plan de coordonnées, il admet comme vecteur normal l'un des vecteurs , ou , et on a alors : - tout plan parallèle au plan ( xOy ) admet une équation du type z = k - tout plan parallèle au plan ( yOz ) admet une équation du type x = k - tout plan parallèle au plan ( xOz ) admet une équation du type y = k 8 ) DISTANCE D'UN POINT A UN PLAN DANS UN REPERE ORTHONORMAL DE L'ESPACE Propriété Preuve : Le vecteur ( a ; b ; c ) est un vecteur normal au plan P , donc Soit ( ; ) le projeté orthogonal du point A sur le plan P . ( la distance cherchée est AA' ) et sont colinéaires . On a donc : On a - ( ; - ( ; - ( On en déduit que = a ( - ( ) + b ( - ( ) + c ( - ( ) = a + b + c - a ( - b ( - c ( . [...]

[...] Si M et N sont des points du plan ou de l'espace, et H et K leurs projetés orthogonaux respectifs sur la droite , alors on a : = 5 ) REGLES DE CALCUL Propriétés 6 ) DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE DANS UN REPERE ORTHONORMAL DU PLAN Propriété Preuve : Le vecteur ( a ; b ) est un vecteur normal à la droite d , donc Soit ( ) le projeté orthogonal du point A sur d . ( la distance cherchée est AA' ) et sont colinéaires . On a donc : On a - ( ; - ( ) . [...]