Les lois de probabilités et les équations différentielles

Résumé du document

Formulaire de mathématiques portant sur les lois de probabilités (lois de Bernoulli, Poisson, loi Normale et approximations), et les équations différentielles (étude qualitative, e.d. à variable séparable, e.d. linéaires du 1er ordre, du 2ème ordre). Document de 840 mots environ.

Extraits

[...] On détermine alors λ grâce aux conditions initiales et on définit y. Équations différentielles linéaires du 1er ordre Equations de la forme a(x)y' + b(x)y = x Equation homogène associée : il s'agit de remplacer par une équation plus simple notée sous la forme a(x)y' + b(x)y = 0 et de trouver une solution à cette équation. Trouver une solution particulière de notée par la méthode de variation de la constante. Trouver la solution générale de de la forme = yH(x) + YP(x) Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficient constant Equations de la forme ay'' + by' + cy = On résout l'équation homogène associée, aussi appelée équation sans second membre (ESSM), de la forme ay'' + by' + cy = 0 On trouve alors l'équation dite caractéristique de la forme ak2 + bk + c = 0 Calcul de Δ = b2 4ac : 3 cas possibles Δ > 0 : 2 racines dans R r1 = & r2 = La solution est de la forme = C 1.er1x + C2.er2x Δ = 0 : 1 racine dans R r = La solution est de la forme = 1x + C2).erx Δ [...]

[...] Solutions stationnaires : on résout y' = 0 Sens de variation des solutions : on étudie le signe de y' Recherche des limites des solutions (surtout en Etude de la concavité/convexité : on étudie le signe de y'' Etude de la stabilité des solutions Equation différentielle à variable séparable De la forme y'(x) = . h(y). Trouver les valeurs stationnaires de y pour lesquelles = 0. Pour tout y des valeurs stationnaires, on écrit = On cherche une primitive de chaque membre et on résout en postulant que Ψ' = Φ' vaut si et seulement si Ψ et Φ ne diffèrent qu'à une constante près, d'où Ψ = Φ + λ. [...]

[...] Cette variable suit une loi de Bernoulli si = p et = 1 - p On note cette loi B ; p). Si Xi = alors succès de la propriété étudiée alors échec de la propriété étudiée On a µ(X) = p et = p.(1 - En renouvelant de manière indépendante le modèle de Bernoulli sur n sujets, on peut généraliser l'expression de X à une loi binomiale de paramètres n et p X est alors la variable aléatoire correspondant au nombre de succès. [...]

[...] DERIVEES USUELLES f = ( f' = f = cos x ( f' = - sin x f = sin x ( f' = cos x f = arcos x ( f' = f = arcsin x ( f' = f = arctan x ( f' = f = ln x ( f' = = g'(x).f'(g(x)) (fn)' = n.fn-1.f' EQUATIONS DIFFERENTIELLES y' = c . y a pour solution y = λ . e c.x Etude qualitative Existence et unicité des solutions : on vérifie que la fonction est dérivable et continue sur R. [...]