Les principales démonstrations de Maths pour le bac Scientifique

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée contenant les principales démonstrations et questions de cours à connaître pour le bac Scientifique.

Extraits

[...] Démo de l'unicité : Supposons qu'une fonction g vérifie g ' = g sur ℝ et g = La fonction g est définie sur ℝ , puisque la fonction exponentielle ne s'annule pas, et est même exp dérivable sur ℝ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ℝ . g g exp g exp ' = = 0 puisque g ' = g et exp ' = exp . exp exp 2 g g 1 g ( La fonction g / exp est donc constante ; comme = = = ℝ, = 1. exp exp 1 exp ( C'est-à-dire g = exp . [...]

[...] une parabole d'axe k ) si est le plan d'équation y = x . une hyperbole situé dans si est le plan d'équation z = k , k Démo : du dernier point Si est le plan d'équation z = k , M ( z ) ( PH ) ( P ) { xy = λz z=k Examinons l'équation xy = C où C est une constante réelle non nulle. Elle est équivalente à y = C { xy = λk z=k . [...]

[...] Démo : (théorème) Si a divise bc , il existe k ℕ tel que bc = ak . Mais a est premier avec b donc d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = En multipliant les deux membres par c , il vient : acu + bcv = c acu + akv = c a (cu + kv ) = c donc a divise c . (Corollaire) Si b divise a , il existe k ℕ tel que a = bk . [...]

[...] On dérive les deux membres de cette égalité. Alors > ln x ) ' = (ln x ) exp'(ln x ) = (ln eln x = (ln x ) x = ( x ) ' = 1 : donc (ln ' = x . Vu que x > la fonction ln est strict. croissante sur . ROC 28 : limites de la fonction ln Prérequis : Limites de la fonction exponentielle et composée de limites. Propriétés algébriques de la fonction ln Proposition : lim ln x = et lim ln x = x Démo : ln x > A x > e : donc pour tout ℝ , il existe x0 = e A tq ln x > A pour tout x > x A Ce qui est la définition de la limite infinie : lim ln x = . [...]

[...] Calcul du produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. Proposition : Soit ) la droite du plan d'équation cartésienne ax + by + c = passant par le point A et de vecteur normal n ; la distance d'un point M β) à la droite ) est la longueur MH où H est la projection orthogonale orthogonale de M sur ) A H ) AM . n aα + bβ + c On a alors MH = = n a2 + b2 n Démo : La distance de M à la droite ) est la M longueur MH . [...]