Cours sur la théorie de la dimension

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classes préparatoires sur la théorie de la dimension. Le cours est traité en une quinzaine de pages environ, avant d'être illustré par des exercices d'application accompagnés de leurs corrigés.

Extraits

[...] Pour tout x multiple de a on a encore f(x)=αx. En effet on peut écrire x=βa , d'où par linéarité de f : f(βa)=β f(a)=β(αa)=α(βa)=αx Montrons que l'on a encore f(x)=αx si est un système libre. Par hypothèse il existe deux scalaires β et λ tels que f(x)=βx et f(a+x)=λ(a+x). Or, par linéarité de f on aura : f(x)=αa+βx. Le système étant supposé libre, on en déduit α=λ=β et donc f(x)=αx f n'est donc autre que l'homothétie vectorielle de rapport α Par hypothèse f k-1est non nulle, il existe donc au moins un vecteur, soit dont l'image f ne soit pas le vecteur nul de E . [...]

[...] On se propose d'étudier comment le morphisme f agît sur les caractères liés à la notion de dimension. Commençons par établir les résultats élémentaires suivants : Soit e en) un système fini de vecteurs de E et le système dit image de S par f , formé par les images successives des éléments de S. Si S est générateur de alors le système est générateur de f(E). Si S est libre, alors est libre si et seulement si VecK(S) _ Pour la première propriété remarquons que par définition même, tout vecteur w de est du type avec v élément de E. [...]

[...] Mais alors, par composition : f 2k(x)=0E, c'est à dire x∈Ker(f 2k)=Ker(f k). On en déduit f k(x)=0E. La somme est bien directe. [...]

[...] _ Si f k=0 pour un entier k inférieur à la dimension n de E on en déduit immédiatement en composant avec f n-k que : f n=0. _ Si l'annulation d'une puissance de f est réalisée pour un exposant strictement supérieur à notons k le plus petit entier supérieur ou égal à n tel que f k=0. Par minimalité de on a donc f et d'après l'étude faite précédemment, il existe un vecteur a de E tel que f f soit libre. Ceci entraîne que le cardinal de soit k , est au plus égal à n dimension de l'espace E. [...]

[...] Montrer que E est un sous-espace de dimension finie et déterminer en une base Dans le R-espace des fonctions de R dans R montrer que le système de n vecteurs définis par les formules : sin(x), sin(2x) sin(nx) , est libre quel que soit l'entier n non nul. (On pourra procéder par récurrence et mettre à profit l'outil de la dérivation.) sin( Ceci prouvé, la fonction x f ( = appartient-elle au sous-espace engendré cos( + 2 par le système défini ci dessus ? 8. Soit E un R-espace de dimension 4 décomposé sous la forme E=VecR(a,b)⊕VecR(c,d). Peut on en déduire E=VecR(a+c)⊕VecR(b, ? [...]