Cours de classe préparatoire sur les limites

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classes préparatoires sur les limites. Il se compose d'une partie "cours" de 25 pages, qui est suivie d'exercices d'application avec leurs corrigés.

Extraits

[...] Il suffit de reconsidérer l'exemple ci dessus pour s'en persuader. La fonction sinus n'admet pas de limite en pourtant sa restriction à l'ensemble des multiples de π auquel adhère est identiquement nulle donc admet pour limite 0 en Par contre, si on parvient à montrer que la restriction g de f à un sous ensemble du type avec pour W0 un voisinage fondamental de admet une limite l au point on pourra conclure que f admet également pour limite l en a. [...]

[...] Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un équivalent simple aux voisinages mentionnées : ln(x)-3x au et 3 x + 2 2 3x au V(0 x7-1 au et V(1). x sin(x) au et 12. Même exercice pour les expressions : π x4+sin(x)-tan(x) au et ) 3x-2x au et V(0 tan(2x)-1+cos(x) au 1 x3ln(cos( au x 13. Trouver un équivalent simple pour les expressions : 1 1 e x e x au , et cos(sin(x))-ex au et cos( + 2 3x-x3 au et V(3). [...]

[...] xe x + au et 14. Même exercice pour les expressions : x 5 ln( + ex ln( + x + x 4 au et V(0). au et ln(e x + ln(2) ex+x100-(ln(x))1000 au x 4 + 3 x x x + 2 au et Même exercice pour : π sin(3x) au ) 1 2 cos( 3 x 1 x sin( πx) au 1 + au et x x + x3 au et V(0). x + ln( On considère 4 x 4 + 1 x . [...]

[...] Etudier les problèmes aux limites suivants : 1 lim π (sin( 2 x π 2 lim 0 sin(x)ln(1-cos(x)) lime ln(ln( x 3ex + 29 Exercices sur les limites. Solutions lim x = lim + 3x + 1 5 2 x x x = car lim + = lim + x 3 x = Pour x 0 au voisinage de Par continuité de la fonction exponentielle, on obtient donc e pour la limite étudiée On pose x ce qui nous renvoie à l'étude de lim X + 3X 4 4 X . [...]

[...] _ Si on perçoit R comme une droite géométrique graduée, ces nombres correspondent à des points fictifs aux deux horizons opposées de cette droite π π _ On peut aussi s'aider de la bijection naturelle f entre , [ et R définie par la tangente : x f(x)=tan(x). Compactifier R revient à prolonger f aux bornes de son intervalle de définition. correspond alors à l'image de π π et à celle de - π π Le prolongement f ainsi bâti relie bijectivement l'intervalle fermé borné , ] au compactifié R . On peut également prolonger la relation d'ordre usuelle sur R en posant : x R x Ceci permet entre autre d'accepter et comme bornes d'intervalles fermés. Ainsi R Voisinages fondamentaux. Définitions. [...]