Cours de classe préparatoire sur les fractions rationnelles

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classes préparatoires sur les fractions rationnelles. Celui-ci se compose d'une partie "cours" d'une dizaine de pages environ avant d'être illustré par des exercices d'application accompagnés de leurs corrigés.

Extraits

[...] ( X ) en X ) X 4 3X + 7 X + Décomposer en éléments simples dans la fraction sachant que le aX 3 3 X + a + 1 paramètre a est réel et que le dénominateur admet une racine multiple On considère la fraction de définie par F ( X ) = X6 ( X + X + 1)5 Ak X + Bk Décomposer en une somme d'éléments du type avec k exposant ( X + X + k entier et Ak , Bk réels. (On pourra procéder par divisions Euclidiennes successives) 9. On considère pour n entier . ' Décomposer sur les fractions 10. [...]

[...] Ainsi on obtient dans puis : X 3z z 1 X j X = 3 = ( + + ) = X 2 X + 2X + 4 4 X 2 X 2 j X 2 X X X3 X 1 = 3 X X 2 X + 2X + 4 2. Pour n entier non nul et X complexe distinct de 1 et on sait que : 1 ( X n 1 + ( X + . + ( X n = . X On en déduit la partie entière, puis la décomposition évidente : X 2n 1 = 1 + X + . + ( X n + = 1 + X + . [...]

[...] On a vu en particulier que cet Anneau est commutatif et intègre, au sens qu'un produit ne peut y être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau. Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle configuration d'étendre cette structure d'Anneau en une structure de corps commutatif appelé corps des fractions de l'Anneau en question. Ce processus permet par exemple de construire le corps classique des nombres rationnels à partir de l'Anneau des entiers relatifs. [...]

[...] ( X k = 0 Le résidu au pôle simple entier k de X ) ) est égal à = La partie entière est X ) ) X ) k = n 1 nulle, d'où la décomposition évidente : X ) k = 0 X k En dérivant formellement l'égalité ci-dessus on obtient : X ) X ) k = n 1 P ( X ) ( X k . X ) k k X ) X ) + on obtient : En évaluant le carré de X ) X ) k = 0 ( X k i [...]

[...] La seule valeur possible est donc x = a 3 qui sera effectivement racine double si = 1 ou encore si a 2 Vu la factorisation évidente en il apparaît que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. On a dans ce cas La décomposition de la fraction donnée, de pôle double 1 et pôle simple s'obtient X 4 3X + 7 X + 1 5X + + facilement : 3 X 3X + 2 ( X X + X 1 ( X X + Une première division de X6 par donneX6=(X²+X+1)(X4-X3+X-1)+1 et conduit à l'apparition d'un premier élément simple : X X 4 X 3 + X = + . [...]