Cour de classe préparatoire sur les déterminants

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classe préparatoire sur les déterminants. Celui-ci comporte une partie "cours" d'une quinzaine de pages, suivie d'exercices avec leur corrigés.

Extraits

[...] B)Premières remarques. Si f est n linéaire, alors f sera alternée si et seulement si f s'annule sur tout système S dont deux des composantes vectorielles sont identiques. Rappelons que les corps considérés sont supposés de caractéristique nulle, donc qu'en particulier : 1K -1K . ( 2.1 k 194 _ Supposons f alternée et considérons un système vn) tel que vi=vj pour un couple d'indices distincts. La permutation de ces deux vecteurs au sein de S laisse donc S invariant, mais d'après l'alternance doit changer en son opposé. [...]

[...] On a déjà étudié des techniques de détermination du rang par des manipulations sur la matrice représentant S dans B . En particulier la méthode du pivot de Gauss nous ramène à une matrice triangulaire équivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n'est nul. Il est alors naturel de se demander s'il est possible de construire en marge de cette démarche une expression synthétique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont l'analyse permettrait de déterminer simplement si S est à son tour une base de E. [...]

[...] On en déduit alors f(S)=0K vu l'hypothèse 2.1 K _ Réciproquement si s'annule dès que 2 vecteurs de S sont égaux, considérons deux indices distincts i i deti (ej , det i j , e ei e j e j + en ) Il s'agît donc de l'image par le déterminant dans la base Bi d'un système de vecteurs qui n'est autre que ceux de cette même base Bi mais listés en désordre par rapport à la situation initiale. Pour retrouver cet ordre originel il suffit d'échanger successivement le vecteur en tête ej avec chacun des j-2 vecteurs e1, ,ej-1 précédant ej+1. [...]

[...] Il s'agit donc d'un outil extrêmement riche mais dont la définition est un peu délicate à mettre en place. En effet si sur le plan théorique on ne fait que reprendre et améliorer d'une certaine manière les idées de la méthode de Gauss, sur le plan pratique on est confronté à des problèmes de notations quelquefois assez lourdes à gérer. Aussi nous commencerons dans cette introduction à examiner la situation sur des espaces de petite dimension. _ Pour n=1 le problème est vite réglé. Soit B base d'une droite vectorielle E. [...]

[...] Le système S réduit au seul vecteur v1=xe1 est libre si et seulement si v1 est non nul c'est à dire si x On appelle alors déterminant de S dans la base B la quantité detB (v1)=x. _ Pour n=2. Considérons un système v2) de deux vecteurs de E exprimés dans la base B e2) suivant : v1=xe1+ye2 et v2=x'e1+y'e Si x est non nul, la séquence C1 C1 C2 C2 transforme la matrice x 0 représentant S dans B en la forme triangulaire y . [...]