Cour de classe préparatoire sur la continuité

Résumé du document

Cours de mathématiques niveau classes préparatoires sur la continuité. Le cours en lui même tient en une dizaine de pages. Il est ensuite suivi d'exercices accompagnés de leurs corrigés.

Extraits

[...] Les effets cumulés des limites en chacun des points de I assurent alors à la courbe de f une régularité proche de l'idée intuitive de continuité évoquée plus haut (pas de perte de valeurs, pas de saut brusque), pouvant se résumer en disant que est encore un intervalle de de type fermé borné si I est lui même un fermé borné. L'étude rigoureuse est abordée en détail dans les théorèmes suivants dont les démonstrations reposent essentiellement sur l'axiome de la borne supérieure pour les parties majorées de R Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f fonction à valeurs réelles, continue en tout point de l'intervalle de R. Toute valeur réelle y comprise entre les deux images et admettra au moins un antécédent pour f situé dans l'intervalle b]. [...]

[...] ( ceci venant de la condition : y intermédiaire entre et f(b)' ) Quitte enfin à remplacer éventuellement g par , on pourra toujours se ramener au cas où sera négatif ou nul et positif ou nul. Notons alors E l'ensemble des éléments x de tels que _ E est non vide car il contient au moins a par hypothèse sur le signe de g aux bornes. _ E est majoré de manière évidente par b. E possède donc une borne supérieure que l'on notera plus petit majorant possible pour E. [...]

[...] Nous avons déjà abordé la notion de continuité dans la leçon précédente, au cours des études locales pour les fonctions usuelles. Rappelons les définitions générales énoncées à ce propos. Une fonction f définie sur une partie I de R et à valeurs réelles est dite continue au réel x0 si et seulement lim x x0 f ( = f ( x0 ) . Si f est continue en tout point de l'ensemble on dira que f est continue sur I Exemples, contre-exemples. [...]

[...] On pourra alors trouver un voisinage V de cette image ne contenant que des nombres strictement positifs. Puisque g a pour limite en on pourra trouver un voisinage c+α[ tel que Or c étant le plus petit majorant possible de c-α qui lui est strictement inférieur ne peut majorer E. Il existe donc au moins un élément x de E tel que c-α [...]

[...] et car les valeurs de f appartiennent par hypothèse à Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à g assure donc déjà l'existence d'un point c de I où g va s'annuler, c'est à dire pour lequel f(c)=c. L'hypothèse de majoration stricte sur soit f ( f ( y ) [...]