Les polynômes ou trinômes du second degré

Résumé du document

Cours de Mathématiques (1ère S) sur les fonctions polynômes et en particulier celles du second degré.

Extraits

[...] On pose Δ=b²-4ac Δ est appelé le discriminant du trinôme. ] 2. Résolution de l'équation : ax²+bx+c = 0 ] = 0 1er cas si Δ>0 ( = 0 + - ) = 0 + = 0 - = 0 x1 = x2 = Si Δ>0, l'équation admet deux solutions distinctes Exemple Résoudre dans = 0 a=3 Δ est le discriminant du polynôme Δ = b²-4ac Δ = 4.3 Δ = 49 x1= et x2= x1= et x1= et x2=-1 ; } 2ème cas si Δ=0 Si Δ=0, l'équation admet une solution : Exemple Résoudre dans = 0 Δ = b²-4ac Δ = ( ) Δ = ) Δ = 0 L'équation admet une solution : } 3ème cas si Δ Donc l'équation n'admet pas de solution S=Ø Exemple Résoudre dans a=1 Δ = b²-4ac Δ = Δ = 9-16 Δ = L'équation n'a pas de solution. [...]

[...] Reconnaître une fonction polynôme Exemple 1 : La fonction f définie par est-elle une fonction polynôme ? Df= - et pour tout x avec on a : Il existe bien un entier n = 1 et deux réels a1=1 et a0=-1 tel que f(x)=a1x+a0 mais cette égalité n'est pas vérifiée pour tout réel x. La fonction f n'est donc pas une fonction polynôme. Remarque : observons la représentation graphique Exemple 2 : Soit la fonction g définie par g est-elle une fonction polynôme ? [...]

[...] - = = = Lorsque le trinôme ax²+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues ( x1 et x2 alors leur somme S et leur produit P sont : S=x1+x2 P=x1+x2 - Exercice d'application Résoudre l'équation : 2x²-5x+3=0 x1=1, c'est une racine évidente x2= = 4. Factorisation et signe du trinôme ax²+bx+c avec b et c réels et a. [...]

[...] = = 0 = x = - ou x = S = ; } Remarque : lorsque Δ on dit que est une solution double ou racine double. = 0 et Δ si a et c sont de signes contraires alors ac0 donc b²-4ac>0 Δ est donc strictement positif, on peut donc affirmer que l'équation admet deux solutions distinctes. Δ, si a et c sont de même signe on ne peut conclure Somme et produit des racines Soit le trinôme ax²+bx+c et a diff 0 * Si Δ>0 l'équation ax²+bx+c = 0 admet deux solutions distinctes x1= et x2= x1+x2= + = = - x1.x2 = . [...]

[...] Activités Les fonctions x 2x+3 et x qui sont des fonctions affines sont aussi appelées des fonctions polynômes de degré 1. La forme générale d'une fonction affine (polynôme de degré est x ax+b avec a et b réels et a 0. Les fonctions x 2x²-3x+4 et x sont des fonctions polynômes de degré 2. La forme générale d'une fonction polynôme de degré 2 est x ax²+bx+c avec b et c réels et a 0. La fonction x -3x3+2x²-5x+7 est une fonction polynôme de degré 3. [...]