Polynômes - EC1

Résumé du document

Cours de Mathématiques de EC1 sur les polynômes, ensembles R[X] et C[X] racines, dérivées, division euclidienne d'un polynôme. Comprend les démonstrations à connaitre pour les concours.

Extraits

[...] Si 𝐴 = 0 : 𝐴 = 𝐵 0 + 0. Si deg 𝐴 [...]

[...] Composée de deux polynômes. Degré 𝐝𝐞𝐠 𝟎 = 𝐝𝐞𝐠 𝒂𝒏 𝑿𝒏 = 𝒏 Le degré du polynôme est égal au degré de son monôme de plus au degré. Définition Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus au degré. Si ce coefficient est égal à alors le polynôme est unitaire. est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré n. De même, Propriétés Si 𝐝𝐞𝐠(𝝀𝑷) = 𝐝𝐞𝐠⁡ (𝑷). P et Q ou 𝐝𝐞𝐠 𝑷 + 𝑸 = 𝑴𝒂𝒙 (𝐝𝐞𝐠 𝑷 ; 𝐝𝐞𝐠 𝑸 ) P et Q ou 𝐝𝐞𝐠(𝑷. [...]

[...] 𝑸) = 𝑷 .𝑸 𝒌 𝒌=𝟎 Formule de Taylor Soit P un polynôme de degré n et a un élément de : 𝒏 𝑷 𝒌 (𝒂) 𝑷 𝑿 = (𝑿 𝒂)𝒌 𝒌! 𝒌=𝟎 Le but de la formule de Taylor est de passer de l'écriture classique des polynômes à une expression centrée en a. Théorème Soit P un polynôme et i une de ses racines. I est une racine de P d'ordre de multiplicité k si et seulement si : 𝑷 𝒊 = 𝑷′ 𝒊 = . [...]

[...] Un polynôme de degré n admet au plus n racines. Pour prouver qu'un polynôme de degré n est nul, il suffit de montrer qu'il s'annule en valeurs différentes. Pour prouver que deux polynômes de degré n sont égaux, il suffit de trouver valeurs égales. Définition r est une racine d'ordre de multiplicité k de P si P est divisible par r)k mais pas par r)k+1. Page 2 Mathématiques EC1 Dans Théorème de Gauss et d'Alembert Tout polynôme de admet au moins une racine complexe. [...]

[...] Mathématiques EC1 Polynômes Ensembles et Définition Un polynôme à coefficients réels es défini par une suite fini de réels : 𝑷 𝒙 = 𝑎𝑛 𝑋𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 + . + 𝑎1 𝑋 + 𝑎0 L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté De même, est l'ensemble des polynômes à coefficients complexes. Définition Le polynôme 𝑷 𝒙 = 𝟎 est le polynôme nul. Un monôme admet un seul coefficient non nul. Egalité Deux polynôme sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients. Opérations Produit par un scalaire. Somme de deux polynômes. Produits de deux polynômes. [...]