La numération

Résumé du document

Cours de mathématiques traitant de la numération. Nous allons ainsi détailler les différents ensembles, les calculs dans les différentes bases ainsi que les critères de conversion. Il est également pourvu d'exemples permettant une meilleure compréhension.

Extraits

[...] On désire écrire ce nombre dans la base 3. Pour commencer, on écrit le nombre dans la base 10 : On a donc : 4x5^2+2x5^1+1x5^0 Ce qui donne : 4x25+2x5+5 Soit : 100+10+1 D'où : 111 Deuxième étape, on écrit le nombre obtenu en base 10, dans la base 3. On a donc : 111/3=37 (reste 37/3=12 (reste 12/3=4 (reste 4/3=1 (reste D'où l'écriture en base 3 du nombre 421 (écrit en base est : 11010 Remarque : Le nombre 212,12 en base s'écrit en base 10 : 2x3^2+1x3^1+2x3^0+1x3^-1+2x3^-2 Soit : 23+1/3+1/9 Soit : (207+3+1)/9 D'où : 212/9 Donc le nombre 212,12 en base s'écrit en base 10 : 212/9 Une base n'est jamais décimale, mais un nombre peut être décimal dans une base. [...]

[...] Exemple : Soit le nombre 10989. Ce nombre est-il divisible par 11 ? On code arbitrairement le nombre, c'est-à-dire : I P I P I I : Impair P : Pair On effectue la somme des chiffres pairs, on a alors : 0+8=8 On effectue la somme des chiffres impairs, on a : 1+9+9=19 On effectue la différence : 19-8=11. Ce nombre est bien divisible par 11. Donc, le nombre suivant 10989 est divisible par 11. [...]

[...] Le nombre cherché est formé du dernier quotient suivi des restes. Exemple : 123÷5 =24 (reste 24÷5=4 (reste d'où le nombre en base 10 s'écrit 443 en base Passage d'une base a quelconque à la base 10 : Soit le nombre suivant xyzt en base a. Ce nombre s'écrit en base 10 : Exemple : Soit le nombre 443 en base 5. Ce nombre s'écrit en base 10 : 4x5^2+4x5^1+3x5^0 soit 4x25+4x5+3 soit 123 Le nombre 443 en base 5 s'écrit 123 en base L'écriture d'un nombre d'une base a quelconque en une base b quelconque : Le principe est le suivant : il faut tout d'abord écrire le nombre dans la base 10 puis l'écrire dans la base b désirée. [...]

[...] La numération I Les ensembles de nombres : N est l'ensemble des entiers naturels } Dans on définit l'addition c'est-à-dire la somme de 2 entiers est un entier. On dit que l'addition est une loi interne. On peut définir la soustraction mais pas dans tous les cas. On fait alors une extension de l'ensemble N dans l'ensemble Z. Z est l'ensemble des entiers relatifs, c'est-à-dire des entiers positifs ou négatifs. Q est l'ensemble des nombres rationnels Définition : Un nombre relationnel est un nombre qui s'écrit sous la forme avec a et b appartenant à l'ensemble Z et b doit être différent de 0. [...]

[...] cela signifie que c'est soit l'un soit l'autre soit les deux), alors b s'écrira sous la forme : où n et m appartiennent à l'ensemble N. Attention : - 0 divisé par un nombre quelconque est égal à 0 - Un nombre quelconque divisé par 0 est impossible - 0 divisé par 0 est une forme indéterminée - Pour tout nombre n différent de n^0 est égal à 1 D est l'ensemble des nombres décimaux. L'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels. Cela se note : D appartient Q Tout nombre décimal est rationnel. [...]