Les nombres complexes : construction, représentation géométrique, résolution, etc.

Résumé du document

Si les coefficients d'un polynôme P sont réels, les racines complexes sont conjuguées 2 à 2.

Ex : P(x) = x3-1
P(x) <=> x3=1
x3-1 = (x-1)(x²+x+1)
(...)

Extraits

[...] cosθ' + i sinθ' cosθ + sinθ.sinθ') = rr' ((cosθ.cosθ' sinθ.sinθ') + (cosθ.sinθ' + cosθ'.sinθ) = rr' (cos + I sin C'est une forme trigonométrique; Le module de zz' = rr' L'argument de zz' = θ+θ' Sous forme polaire (les modules se multiplient) θ) = θθ') Cas particulier : = (r(cosθ + i sinθ))² = (cos 2 θ + i sin 2 θ) = (cos θ + i sin = cos θ) + I sin 2 θ FORMULE DE MOIVRE : (cos θ + I sin θ)n = cos (nθ) + I sin (nθ) Application : (cos θ + I sin θ) = cos + i sin = cosθ I sinθ 1/z = 1/(r.cosθ+i.sinθ) = (r(cosθ I sinθ)) / Ex: z=i i = π/2) = ( 2.1 ; 2*π/2) = π) 5. Représentation exponentielle Notation: eiθ = cos θ + i sin θ Z = r (cos θ + i sin θ) Z = r.eiθ (Forme exponentielle) Propriétés: r'. eiθ zz' = rr'. eiθ . [...]

[...] eiθ' ( r. eiθ .r'. eiθ' = rr'. ei(θ+θ') Zn = (r.eiθ)n = rn.ei.nθ Résumé: Les 5 représentants d'un nb complexe st: Algébrique a+ib Cartésienne Polaire θ) Trigonométrique r(cosθ + i sinθ) Exponentielle r.eiθ III. Résolution d'équations algébriques 1. [...]

[...] = -10 -15i + 2i + = -10 -13i = -13 -13i Multiplication par un scalaire (nombre réel): λ(a + ib) = λa + i. λb Ex: = + 3i Un nbre complexe est assimilé à un couple de nombres réels forme cartésienne avec a = réel (abscisse) et b = imaginaire (ordonnée) a+ib forme algébrique + = λ = (λa; λb) = Ex: en forme cartésienne 0 + 1i = 2. Nombres conjugués: Z=a+ib On appelle conjugué de le nombre = a ib (CHANGEMENT DE SIGNE) Propriété: ( ( a+ib = a-ib donc 2ib=O donc b=0 (nombre complexe est égal à son conjugué si imaginaire est nul; donc si et seulement si z est un réel (car pas imaginaire) Calculons : z. [...]

[...] Ex : = Polynôme de degré racines r=1 (racine dble ou d'ordre (racine simple) Propriété: Si les coefficients d'un polynôme P st réels, les racines complexes st conjuguées 2 à 2. Ex : = x3-1 ( x3=1 x3-1 = Résolvons: = 0 = R = + ou - ) / 2 = i ) / 2 Il y a donc 3 racines cubiques de l'unité: 1 + i 1/2 - i Module et argument? De + i ? A b R = = 1 Argument: Cos θ = a/r = Sin θ = b/r = DONC θ=2π/3 Autre résolution: Cherchons les racines sous forme r.eiθ (r.eiθ)3 = 1 ( r3. [...]

[...] Représentation géométrique 1. Le plan complexe: M représente le nombre z = a + ib (Ordonnée = nb imaginaire) (Abscisse = nb réels) Les nombres réels axe des x M est l'image de Z A+0i réels 0+bi imaginaire purs 2. Représentation des opérations: Conjugaison : z = a + ib ( = a - ib Somme : + = ; Multiplication par scalaire: ( z λ ( λ z Module : = (Les nbres complexes de même module se retrouvent sur le même cercle) Argument d'un nombre complexe: Coordonnées polaires : A = r cos θ B = r sin θ Forme polaire d'un nombre complexe z = θ s'appelle "argument" r = > [...]