Cours de Terminale S : Les nombres complexes

Résumé du document

Cours de Terminale S portant sur les nombres complexes. Très complet, avec des schémas et des illustrations, des exemples d'application, et toutes les démonstrations exigibles au bac. Présentation soignée (sous-titres, titres mis en valeur, etc.). Idéal dans le cadre de révisions pour le baccalauréat ou pour revoir et approfondir certaines notions mal comprises.

Extraits

[...] ' MM u Dans le plan complexe, si M z , M ' z ' , alors : u M ' M u z ' = Remarque : La translation est une isométrie. Rotation : Soit Alors Si Si Soit , le centre de la rotation M ' r , et , l'angle de rotation. M , M ' M , [ 2 et M M ' ' z , M z , M ' z ' , Soit la rotation de centre et d'angle . z ' z z Remarque : La rotation est une isométrie. [...]

[...] Géométrie et nombre complexes 1. Rappels et angles orientés Rappels : z , il existe une unique partie réelle de z et une unique partie imaginaire de que l'on représente sur deux axes. On a alors placé un point M z . Le repère doit être orthonormé direct. Soit z z correspond à la distance entre O et M : z =OM e 1 (vecteur Soit z , arg z correspond à la mesure de l'angle orienté entre unitaire de l'axe des réels) et . [...]

[...] Hérédité : z k = z k . d'après l'hypothèse de récurrence : On a montré que si l'égalité est vraie à un rang k , elle est aussi vrai au rang k Conclusion : Pour tout entier n , z n = z n C2 Par récurrence : Initialisation : Pour n=0 : arg z 0 0×arg z Pour l'égalité est vraie. Hérédité : On suppose que l'égalité est vraie pour Montrer qu'elle est vraie pour k k . [...]

[...] M z P OM z e z e 2 Remarque : A l'aide de cette représentation, il est IMPOSSIBLE de comparer deux complexes. III. Opérations dans 1. L'addition Soit z , z ' . L'addition de z et se note : ℂ ' z ' z z ' Propriétés : Elle est commutative : Elle est associative : Le z ' ' z z z ' ' z z ' ' z z 0 est neutre : Quelque soit z , il existe z ' , tel que z ' = z ' est unique : c'est l'opposé de z . [...]

[...] Propriété : L'écriture d'un nombre complexe sous la forme Démonstration : Soit , où , est unique. z , , b , a ' , 4 tels que Supposons qu'il existe Alors, z et z . a ' ' = ib' i b ' , donc b ' ' qui est une contradiction puisque le membre de gauche est réel alors que On a donc b ' De plus, le membre de droite est complexe. Conclusion : On a donc Définition : Soit z . [...]