Algèbre : les limites

Résumé du document

Cours simplifié de Mathématiques sur les limites (niveau baccalauréat ES).

Extraits

[...] LIMITES I Opérations algébriques Limite d'une somme Dans ce théorème il y a un cas de forme indéterminée, c'est la cas que l'on note Exemples : f = + x + 1 lim = + lim lim + x + = + Limite d'un produit Dans ce théorème il y a un cas de forme indéterminée, c'est la cas que l'on note 0 Exemple : f = + x lim x + 1 = 1 x=0 lim lim + x = 0 Limite d'un quotient Cas où le dénominateur a une limite non nulle Dans ce théorème il y a un cas de forme indéterminée, c'est la cas que l'on note Exemple : f = lim 3 = 3 2x + 1 2x + 1 lim 2x + 1 = + lim Cas où le dénominateur a une limite nulle Dans ce théorème il y a un cas de forme indéterminée, c'est la cas que l'on note Exemple : Étude de la limite en 1 de la fonction h définie sur \ par h = lim x 2 = 1 et lim = 0 Pour conclure, nous devons préciser le signe du dénominateur x 1 autour de 1. D'où le tableau de signes : x Donc x + lim x 1 x lim x 2 = 1 lim x 2 = 1 + lim = 0 lim = 0 lim + II Formes indéterminées En résumé il y a quatre cas de formes indéterminées : 0 0 Lorsqu'on rencontre un de ces cas, on ne peut pas conclure immédiatement. L'exemple ci-dessous et les propriétés qui le suivent permettent de se sortir de la plupart des indéterminations. [...]

[...] Remarque : Il ne faut pas oublier de simplifier la fonction rationnelle avant de déterminer la limite. Exemple : lim 4 x 3 + 5 x 2 4 x + 1 = lim 4 x3 = x x lim x 3x 5 3x 3 = lim = lim = x x 2 x x x 3 x + 1 III Limite par comparaison Dans ce paragraphe g et h désignent des fonctions définies sur un même intervalle ; + Théorème : Si pour x assez grand et si lim = + alors lim = + Si pour x assez grand et si lim = alors lim = Théorème des gendarmes : Soit L un réel Si pour x assez grand et si lim = lim g = L alors lim = L. [...]

[...] 5x + 6 = Ainsi pour tout x on a 5x + 6 donc lim = lim x 3 = 1 Limite à l'infini des fonctions polynômes ou rationnelles en La limite en + (resp en d'une fonction polynôme est la limite en + (resp en du terme de plus haut degré. La limite en + (resp en d'une fonction rationnelle est la limite en + (resp en du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. [...]