Les limites, la continuité et la dérivation en Mathématiques

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Terminale sur les limites, la continuité et les dérivations.

Extraits

[...] La fonction partie entière est discontinue en tout 𝑎 ℤ. Propriétés La somme, le produit, le quotient (lorsque le dénominateur ne s'annule pas), la composée de fonctions continues sont continues Théorème des valeurs intermédiaires Théorème Soit f une fonction continue sur 𝑎 ; 𝑏 (où 𝑎 [...]

[...] Une suite (𝑢𝑛 ) tend vers (respectivement si tout intervalle de la forme 𝑀 ; (respectivement ; 𝑀 ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors 𝑢𝑛 = (respectivement 1 Exemple : La suite 2 converge vers 0. 𝑛 Soit ; un intervalle ouvert centré en 0 quelconque > 𝑢𝑛 ; 2 𝑛 > 𝑛 Notons 𝑁0 le plus petit entier supérieur ou égal à 1 D'après l'étude ci-dessus, dès que 𝑁 𝑢𝑛 ; . [...]

[...] On écrit alors 𝑓 𝑥 = Remarque : la limite, lorsqu'elle existe, est unique. Exemple : 𝑥 2 = car, pour 𝑀 > 0 : 𝑥 2 𝑀 ; 𝑥 > 𝑀 Ainsi dès que x dépasse 𝑀, 𝑥 2 𝑀 ; Théorème Limite en d'un polynôme, d'une fonction rationnelle La Limite en l'infini d'un polynôme non nul est égale à la limite en l'infini de son terme de plus haut degré. La limite en l'infini d'une fonction rationnelle non nulle est égale à la limite en l'infini du quotient de ses termes de plus haut degrés. [...]

[...] Théorème Toute fonction dérivable en a est continue en a 2. Dérivée des fonctions usuelles 𝑓 (𝑥) 𝑎 𝑛𝑥 𝑛− 2 𝑥 1 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑛 (𝑛 ℕ) 1 𝑥 𝑥 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ℝ ℝ ] ; ; ; 2 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 tan 𝑥 1 + tan2 𝑥 = ℝ ℝ 𝜋 𝜋 ] + 2𝑘𝜋 ; + 2𝑘𝜋[ (𝑘 ℤ) cos 2 𝑥 3. Propriétés des fonctions dérivables Somme, produit, quotient Soit f et g deux fonctions dérivable sur I alors : 𝑓 + 𝑔 est dérivable sur I et : 𝑓 + 𝑔 = 𝑓 + 𝑔′ 𝑓 𝑔 est dérivable sur I et : 𝑓 𝑔 = 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑔′ 𝑓 𝑓 𝑔 𝑔 Si pour tout 𝑥 𝐼, 𝑔(𝑥) 0 : est dérivable sur I et : = 𝑓 ×𝑔−𝑓×𝑔′ 𝑔2 Composée de fonctions Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J et f une fonction dérivable sur un intervalle I tel que (𝐼) 𝐽 , alors la fonction 𝑔 𝑓 est dérivable sur I et pour tout 𝑥 𝐼 : 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔′ 𝑓(𝑥) 𝑓 (𝑥) Exemple : 𝑓: 𝑥 𝑥 2 + 1 et : 𝑥 𝑥 , f est dérivable sur ℝ et g est dérivable sur ℝ et, pour 𝑥 ℝ , 𝑓 𝑥 ; Alors 𝑥 𝑔 𝑓 est dérivable sur ℝ et pour 𝑥 ℝ, 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 + Dérivée et variations d'une fonction Propriété très importante Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. [...]

[...] Si lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = , alors lim𝑥 →𝑎 𝑔 𝑥 = . III - CONTINUITE 1. Définitions et Propriétés Définitions Soient a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. On dit que f est continue en a si lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) . On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Exemples : Les fonctions polynômes, rationnelles, valeur absolue et racine carrée sont continues sur leur ensemble de définition. [...]