Cours de Terminale S : Limites et continuité

Résumé du document

Cours très complet portant sur le chapitre "Limites et continuité" du programme de Terminale S. Ce cours comprend toutes les propriétés et les théorèmes, les démonstrations exigibles au baccalauréat pour ce chapitre, ainsi que des exemples, des applications, des graphiques et des schémas afin de mieux comprendre les notions présentées.

Extraits

[...] Si g x f x h x ' , g x I , c'est-à-dire h x { f x . Conclusion : x lim f x0 : Limites en un nombre réel lim f x0 I centré sur l , il existe un seuil si A tel que : x x A ; x , alors f x . lim f x0 I M [ , il existe un seuil Remarques : A tel que si x x A ; x , alors f x . [...]

[...] Avec une Ti, c'est 2ND puis GRAPH. Exemple : Pour f : x ln , cherchons tel que f f est continue car composée de fonction continue f est strictement monotone (croissante) sur ℝ+ : f ' 1 sur x ℝ+ f et lim f x donc f Avec le tableau de la calculatrice, on obtient : à près Lien entre continuité et dérivabilité : Théorème : Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Remarque : La réciproque est fausse ( ex : Démonstration : Soit x x est continue en x=0 mais pas dérivable en ce point.) a , dérivable en f a d lim f f , avec h f x f = avec Soit lim x g f x f si d'où g f x f or lim a lim g x a donc Et lim g x a lim f f a donc lim f f a Par définition, f est continue en a . [...]

[...] g est une asymptote de f en Remarques : Pour démontrer que la courbe est au dessus ou en dessous de l'asymptote, on doit comparer les nombres f x et : f x axb=signe ? Si Si f x alors f x alors f x . f x . Deux courbes peuvent être asymptotes l'une de l'autre. Définition 5 : On dit que la courbe C f admet pour asymptote une droite verticale d'équation x=c , lorsque : lim f c On a représenté la courbe f : lim 4 + 1 On a donc asymptote de f . [...]

[...] Si f f admet une limite en x alors elle est unique. peut avoir une limite en x0 sans être définie en x0 ( 1 x en x 0=0 ) Si f est définie en x0 et si f x0 admet une limite en x alors lim f f x0 Définition : Lorsque x0 lim f f x0 ou lim f f x0 ou x x0+ x x-0 lim f f x0 , on peut dire que la droite d'équation x x 0 est asymptote verticale à la courbe représentant f au voisinage de II. [...]

[...] Remarque : Dans un tableau de variations, les flèches signifient que la fonction est continue et monotone. Corollaire du TVI : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur , où I , alors pour tout réel dans k f , l'équation admet une unique solution I . Démonstration : Existence : f étant continue sur I et k f I , on peut appliquer le théorème f x . des valeurs intermédiaires, et donc, il existe une solution à l'équation Unicité : On suppose qu'il existe 2 solutions notées 1er cas : c 1 et c2 distinctes à l'équation f x c 2 dans I. [...]