Les limites

Résumé du document

Cours complet de mathématiques de première sur les limites, adapté également à la classe de terminale, en tant que fiche de révision, quelque soit la série choisie. Document structuré, illustré par divers exemples, notamment des graphiques ou encore des petits calculs.

Extraits

[...] THEOREME DE COMPARAISON Soit définis sur un intervalle ; Si pour x assez grand, on a et si lim = alors lim = Si pour x assez grand, on a et si lim = alors lim = IV. THEOREME D'ENCADREMENT Soit définis sur un intervalle ; Si pour x assez grand, on a et si lim = lim alors lim = l. Exemple : = (sin . Quelle est la limite de ? sin x 1 Quand x > (sin 1/x. lim 1/x = 0 et lim = 0 Donc lim = 0 V. ASYMPTOTES A. Horizontale Soit l est un réel. [...]

[...] La fonction x a une limite en 0 qui est II. OPERATION SUR LES LIMITES A. Limite d'une somme Soit f et g deux fonctions admettant une limite (finie ou infinie) en α (réel ou non). F.I. : Forme Indéterminée Exemples pour la forme indéterminée : = x et = -2x ( = 3x et = -2x ( x = et = x ( 0 B. Limite d'un produit Exemple 1 : lim [2x + lim 2x = lim x + 3 = Par conséquent : lim [2x + = Exemple 2 : lim (3x + 1/x (3x + = 1/x x 3x + = 3 + = 3 + lim = 0 donc lim + = 3 Etude de la limite à droite : lim = donc lim + = x(0 x(0 x>0 x>0 D'où lim (3x + = x(0 x>0 Remarque : Si l = 0 et l' est fini alors fg(0. [...]

[...] Dire que la droite d'équation y=l est asymptote à la courbe représentative de f en (respectivement signifie que lim (respectivement lim Exemple : B. Oblique Soit a et b deux réels. Dire que la droite d'équation y=ax+b est asymptote à la courbe représentative de f en (respectivement signifie que lim (respectivement lim Exemple : Remarque : Le signe de f(x)-ax+b donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote. C. Verticale Si f admet une limite infinie à fauche ou à droite en un réel alors, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. [...]

[...] Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de a : - si les nombres deviennent de plus en plus o grands : on dit que f a pour limite en a et on écrit : lim = x ( a o grands en valeur absolue mais négatifs : on dit que f a pour limite en a et on écrit : lim = x ( a o proches d'un réel l : on dit que f a pour limite l en a et on écrit : lim = l x ( a 2. Limites de fonctions usuelles Remarque : Quand la fonction n'est pas définie en on étudie la limite à gauche, et la limite à droite. La fonction inverse n'a pas de limite en 0 car la limite à gauche est différente de la limite à droite. [...]

[...] LIMITES I. DEFINITIONS A. En 1. Limite d'une fonction Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme ; Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes (lorsque x tend vers : - si les nombres deviennent de plus en plus o grands : on dit que f a pour limite en et on écrit : lim = x ( o grands en valeur absolue mais négatifs : on dit que f a pour limite en et on écrit : lim = x ( o proches d'un réel l : on dit que f a pour limite l en et on écrit : lim = l x ( 2. [...]