Fiche de Mathématiques niveau Licence

Résumé du document

Fiche de révision de Mathématiques niveau Licence.

Extraits

[...] Propriété: Comportement des solutions Les solutions sont présentée par: k at + 𝑏 1−𝑎 . t a > a tend vers Divergence régulière xt diverge 0 [...]

[...] Attention, vrai que si le résultat est un vecteur nul, si c'est un 0 Démonstration: A𝑋 = 𝑂, soit 𝑋 et 𝑌 des solutions du système: A(𝑋 + 𝑌) = A𝑋 + A𝑌 = 0 + 0 = car on sait que A𝑋 = 0 A(λ𝑋) = λ(A𝑋) = λ0 = 0 Ainsi, les solutions forment bien un sous espace vectoriel. Propriété: Sous espace vectoriel Une intersection de sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel. Attention, la réunion de sous espaces vectoriels n'est pas un espace vectoriel. III Combinaison linéaire familles libres et familles génératrices d'espace vectoriel Combinaison linéaire Définition: Combinaison linéaire Soit E un espace vectoriel, soit (𝑥1 ; ; 𝑥𝑛 ) une famille d'éléments de E. On appelle combinaison linéaire des (𝑥1 ; ; 𝑥𝑛 tout vecteur 𝑥 , qui s'écrit 𝑥 = a1𝑥1 + . [...]

[...] Si 𝑥 quelconque, 𝑥 = x1𝑏1 + . xn𝑏𝑛 . On veut calculer f(𝑥 ) ? f(𝑥 ) = f(x1𝑏1 + . + xn𝑏𝑛 ) = x1f(𝑏1 ) + . + xnf(𝑏𝑛 Réciproque (Corolaire): Si 2 applications linéaires, f et prennent les mêmes valeurs sur une base, alors ces 2 applications sont égales = g). II Propriétés des applications: Formule de Rang Rang d'une application linéaire Propriété: Image E application linéaire, est appelé image de on le note c'est un sous espace vectoriel de F. [...]

[...] Remarque: On appelle espace engendré par une famille l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille A. Exemple: Tous les coordonnées sont des familles génératrices. Lien avec les systèmes linéaires Explication: 𝑥1 𝑏1 Soit A A = dire que Ax = b admet des solutions équivaut à dire qu'il existe (𝑥1 ; ; 𝑥𝑛 ) tel que A . = . 𝑥𝑛 𝑏𝑛 𝑏1 𝑏1 A1x1 + . + A2x2 = équivaut à dire que . est une combinaison linéaire de An). [...]

[...] Rang d'une famille de vecteurs Définition: Rang de A Soit A = (𝑥1 ; ; 𝑥𝑛 par définition le rang de A est le nombre maximal de vecteurs libres indépendantes dans A. Propriété: Rang A Rang A nombre d'éléments dans A Rang A = nombre d'éléments dans si seulement si A est une famille libre. Propriété: Le rang d'une famille si A = (𝑥1 ; ; 𝑥𝑛 ) est égal à la dimension de l'espace vectoriel engendré par A. Conséquence: un espace vectoriel de dimension si F est un sous espace vectoriel alors la dimension de F est inférieure ou égale à la dimension de E. [...]