Les limites - publié le 03/06/2006

Résumé du document

Chapitre d'un cours de mathématiques niveau classe préparatoire sur les limites. Il se compose du cours, d'exercices ainsi que de leur corrigé. Le cours en lui-même comporte une trentaine de pages et est suivi de dix pages d'exercices. Document au format Word.

Extraits

[...] Ceci étant possible quelque soit on peut conclure suivant la définition générale que f ( tend vers l en t0. Application à un constat de non existence de limite en un point. Concernant cette situation on a vu précédemment une technique reposant sur l'étude des restrictions. Le théorème de composition établi ci dessus donne facilement une autre méthode pour établir la non existence d'une limite pour une fonction f en un point x0 adhérent à son ensemble de définition J. On procède encore par l'absurde. [...]

[...] On en déduit immédiatement Pour l'étude de la limite à gauche utilisons les propriétés algébriques fondamentales des logarithmes. Pour tout x de : Ainsi d'après le résultat précédent allié au théorème de composition.( tend vers 0 par valeurs supérieures à droite de Pour tout x0 on a alors : . La fonction logarithme Népérien est donc continue sur tout _ En considérant les quotients par l'encadrement initial se traduit , puis , dont on déduit : . Pour l'étude à gauche de 0 on écrira comme précédemment : Ceci d'après la règle du quotient, le théorème de composition et la règle du produit. [...]

[...] Le quotient par x équivaut alors à 2 et tend vers ce réel pour x tendant vers 0. Par continuité de l'exponentielle la fonction étudiée a donc pour limite e2 en 0 et équivaut donc à ce réel non nul au voisinage considéré. _ Au voisinage de on peut écrire ln(ex+x)=x+ln(1+xe-x)(x, car lim+( ln(1+xe-x)=0. Le quotient par x équivaut donc à 1 et la fonction étudiée tend vers e1 au voisinage de toujours par continuité de l'exponentielle, donc équivaut à ce réel non nul e. [...]

[...] Cas d'une somme de deux fonctions de limite réelle. On est ici dans une situation du type et avec lima u=lima v=0 On en déduit . Vérifier que f+g tend vers l+m au point a revient donc à prouver que la somme de deux fonctions de limite nulle en soient u et est encore de limite nulle en ce point. Pour ceci considérons l'inégalité triangulaire Elle montre que pour réaliser une contrainte du type avec ( réel strictement positif imposé, il suffit d'assurer simultanément . [...]

[...] _ Symétrie. Si g équivaut à f au alors f équivaut à g au V(x0). f ( g . _ Transitivité. Si au h est équivalente à g et g équivalente à alors h équivaut à f en x0 et g ( h ( f . _ Produits, inverses, quotients. Si au voisinage de x0 on sait que u et f ( on peut alors en déduire, au voisinage de x0 : représentant un exposant réel fixe et sous réserve que les fonctions définies par les opérations ci dessus soient effectivement définies au voisinage de x0) _ Remplacement d'un terme par un équivalent dans une relation de négligeabilité. [...]