Les barycentres

Résumé du document

On utilise généralement les barycentres pour montrer :

L'alignement de 3 points (en montrant que l'un des 3 points est le barycentre des deux autres, affectés de certains coefficients)

Que des droites sont concourantes (en montrant que le point de concourt des droites est chaque fois le barycentre de deux points de chaque droite)

Que des droites sont parallèles (en montrant que les vecteurs directeurs de ces droites sont colinéaires) [...]

Extraits

[...] Autrement dit, si G est le barycentre des points pondérés et alors G est aussi le barycentre des points pondérés (A,kα) et (B,kβ). α ×GA+β k×α (car et on vérifie bien que : Démo. : kα +kβ =k(α + β car α + β et k Si α alors G est situé entre A et B. Propriété : Si α alors G est situé en dehors du segment [AB]. α ×GA+β α donc : Démo. : Si α alors α et β sont de même signe donc α et -β sont de signes différents et les vecteurs GA et GB sont de sens différents. [...]

[...] En effet, pour tout point M : a1×MA1+a2×MA2 =(a1+a2 En remplaçant M par on obtient : a1×GA1+a2×GA2 =(a1+a2 = n D'où n i i i Théorème : n i i i i Soit f une symétrie, une rotation ou une translation. Si G est le barycentre des points pondérés (A1,a1) alors l'image du point G par f (notée est le barycentre des points pondérés (f(An),an). Remarques : a. Ce théorème ne sera pas démontré en classe de première. b. On dit aussi que toute symétrie, rotation ou translation conserve le barycentre. III. [...]

[...] Les coordonnées du point barycentre des points pondérés et sont : xG = α yA + β yB α + β xB α z A + β zB , yG = et zG = . α +β α +β α +β Démo. : Reprenons l'énoncé du théorème de réduction des sommes vectorielles : Pour tout point M : α β + β 2 Comme ce théorème est valable pour tout point il est en particulier valable pour le point O : α β + β . [...]

[...] Définition du barycentre de deux points pondérés Définition : Soit et deux points pondérés tels que il existe un unique point G vérifiant : α β On dit que G est le barycentre des points pondérés et (B,β). Remarques : a. Le barycentre des points pondérés et est le point A. b. La relation définit deux vecteurs colinéaires de même origine, il s'ensuit donc que le barycentre des points pondérés et appartient à la droite (AB). Attention : cette remarque peut paraître anodine mais elle est utilisée très souvent en exercice. c. [...]

[...] Le barycentre des points pondérés et est appelé isobarycentre des points A et B. Il a la particularité d'être le milieu du segment [AB]. Attention : cette remarque est valable qu'elle que soit la valeur du coefficient α. En particulier, pour faciliter les calculs dans les exercices, on prendra souvent α=1, mais il faudra toujours se rappeler que le coefficient α peut prendre toute valeur réelle non nulle (car α+α≠0 2α≠0 . Cette remarque est souvent très utile en exercice. [...]